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专题能力提升练 五数学文化与核心素养(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f【解析】选D.由已知,单音的频率构成一个首项为f,公比为122的等比数列,记为bn,共有13项.由等比数列通项公式可知,b8=b1q7=f(122)7=1227f.【加固训练】1.(2018河南省新乡市高考数学二模试卷)我国古代数学名著九章算术里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱,今合买好、坏田1顷,价值10 000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中S的单位为钱,则输出的x,y分别为此题中好、坏田的亩数的是()【解析】选B.1顷=100亩,设好田x亩,坏田为y亩,则由题意可得:坏田y=100-x,依题意有:S=300x+5007y=10 000,故C错误;可得:300x+50 0007-5007x=10 000,1 6007x=20 0007,解得:x=12.5,坏田y=100-12.5=87.5(亩).由于:x的初值为0.5,终值为12.5,设其步长值为d,则由12.5=0.5+(n-1)d,可得:n=12d+1Z,可得:变量x每次增加的步长值d为12的因数,故A,D错误,B正确.2.(2018豫南九校一模)九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”可用如图所示的程序框图解决此问题.现执行该程序框图,输入的d的值为33,则输出的i的值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.方法一:i=0,s=0,x=1,y=1开始执行,然后可得:i=1,s=1+1,x=2,y=12i=5,s=(1+2+4+8+16)+1+12+14+18+11633,x=32,y=132,再执行一行,然后输出i=6.方法二:本题要解决的问题是数列求和的问题,a1=1+1,a2=2+12,an=2n-1+12n-1(n2),可得:a1+a2+an33,解得n的最小值为6.2.数的概念起源于大约300万年前的原始社会,如图1所示,当时的人类用在绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大小来表示野兽的大小,即“结绳计数”,图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量,在从右向左依次排列的绳子上打结,右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结,请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为()A.336B.510C.1 326D.3 603【解析】选B.由题意,所擒获猎物的数量满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为173+372+271+670=510.3.(2018益阳一模)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn,则()A.Sn无限大B.Sn3(3+5)mC.Sn=2(2+5)mD.Sn可以取100m【解析】选B.由题意,外围第一个正方形的边长是m,可得:内层第二个正方形边长为13m2+23m2=53m;第三个正方形边长为1353m2+2353m2=59m;第n个正方形边长为53n-1m,那么蜘蛛网的长度为Sn=4m1+53+59+53n-14m11-53=(9+35)m.4.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数5,9,14,20,为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2 017,则a2 017-5=()A.2 0232 017B.2 0232 016C.1 0082 023D.2 0171 008【解析】选C.观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,an=2+3+(n+2)=(n+1)(2+n+2)2=12(n+1)(n+4),由此可得a2 017=122 0182 021=1 0092 021.a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 0082 023.5.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的外接球的表面积为()A.2B.8C.43D.6+42【解析】选B.根据几何体的三视图,得到:该几何体是一个倒放的底面为直角三角形,高为2的直三棱柱.故直角三角形的直角边为2.所以:该几何体的外接球直径为2+2+4=22,所以:R=2,故S=4R2=8.【加固训练】九章算术第三章衰分中有一则问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”;翻译成现代文为“今有一个女子很会织布,每日加倍增长,5天共织布5尺,问每天织布多少?”.今以这则故事中蕴含的数学思想,设计如图所示的程序框图,则运行其中的程序,输出的n的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.运行该程序,第一次,S=23,a=43,n=1;第二次,S=63,a=83,n=2;第三次,S=143,a=163,n=3;第四次,S=303,a=323,n=4;第五次,S=623,a=643,n=5;第六次,S=1263,a=1283,n=6;第七次,S=2543,a=2563,n=7;此时输出的n的值为7.6.在九章算术中记载着一道关于“持金出关”的题目,大意是:“在古代出关要交关税.一天,某人拿钱若干出关,第1关交所拿钱数的12,第2关交所剩钱数的13,第3关交所剩钱数的14,”这个人在第6关交税的钱数是出第1关前钱数的16;这个人在第6关交税的钱数是出第1关前钱数的142;这个人出了第8关后剩余的钱数是出第1关前钱数的18;这个人出了第8关后剩余的钱数是出第1关前钱数的19.其中说法正确的是()A.B.C.D.【解析】选D.设这个人出关前的钱数为a,第1关交税12a,即112a;第2关交税13a-12a=16a,即123a;第3关交税14a-12a-16a=112a,即134a;由此可知第6关交税167a,故错误,正确;这个人过了第8关后剩余的钱数为a-112a+123a+134a+189a=a-a1-12+12-13+13-14+18-19=19a,故错误,正确.7.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,已知该图形中直角三角形的两直角边分别为5和3,若向该图形中随机抛掷一枚飞镖,则该飞镖恰好落在阴影区域的概率为()A.35B.415C.1517D.934【解析】选C.由条件可知,该图形中大正方形的边长为32+52=34,小正方形的边长为5-3=2,故所求概率为P=34-434=1517.【加固训练】1.我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一种求解方法,则输出的n的值为()A.25B.26C.27D.28【解题指南】由题设实际问题,结合程序框图一步一步计算,直到满足判断框中的条件退出循环,并输出结果即可.【解析】选A.执行程序框图,n=20,m=80,s=60+803;显然s100,n=21,m=79,s=321+793;显然s100,n=22,m=78,s=322+783;显然s100,n=23,m=77,s=323+773;显然s100,n=24,m=76,s=324+763;显然s100,n=25,m=75,s=325+753=100.退出循环,故输出的n=25.2.九章算术是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()注:1丈=10尺=100寸,3.14,sin22.5513A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【解析】选D.连接OA,OB,OD,设O的半径为R寸,则(R-1)2+52=R2,所以R=13.sinAOD=ADAO=513.所以AOD22.5,即AOB45.故AOB4.所以S弓形ACB=S扇形OACB-SOAB=124132-1210126.33(平方寸).所以该木材镶嵌在墙中的体积为V=S弓形ACB100633立方寸.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图是某老师讲解欧阳修卖油翁的课件用图,若铜钱的直径为3 cm,中间有边长为0.25 cm的正方形孔,则随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴正好落入孔中的概率是_.【解析】铜钱的面积S1=322=94(cm2),中间方孔的面积为S2=142=116(cm2),所求概率P=S2S1=136.答案:1369.孙子算经是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子.”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是_.【解析】设等差数列an,首项a1,公差为3,则S5=5a1+5423=60,解得a1=6,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.答案:610.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国数学家黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用,其定义为R(x)=1p,当x=qpp,q为整数,qp为既约分数,0,当x=0,1或0,1上的无理数.若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数,当x0,1时,f(x)=R(x),则f173+f(lg 20)=_.【解析】由函数的最小正周期为1可得f173+f(lg 20)=f5+23+f(lg 2+1) =f23+f(lg 2)=13+0=13.答案:13【加固训练】孙子算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,里面记载着一道分配问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,则输出的值是_.【解析】由题意,输出的值是1001+13=75.答案:75
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