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第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A组1抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线方程为( B )Ay26xBy28xCy216x Dy2x解析依题意，设M(x，y)，因为|OF|，所以|MF|2p，即x2p，解得x，yp.又MFO的面积为4，所以p4，解得p4.所以抛物线方程为y28x.2若双曲线1(a0，b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2| ( D )Am2a2 B C(ma) Dma解析不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|，故|PF1|PF2|ma.3(文)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( D )A BC D解析由题利用双曲线的渐近线经过点(3，4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可因为双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故选D(理)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )A1 B1C1 D1解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1，故选D4(2018重庆一模)已知圆(x1)2y2的一条切线ykx与双曲线C：1(a0，b0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )A(1，) B(1,2)C(，) D(2，)解析由题意，圆心到直线的距离d，所以k，因为圆(x1)2y2的一条切线ykx与双曲线C：1(a0，b0)有两个交点，所以，所以14，所以e2.5(2018济南一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|( B )AB3CD2解析如图所示，因为4，所以，过点Q作QMl垂足为M，则MQx轴，所以，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3.6(2018泉州一模)已知抛物线C：y22px(p0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若，则p2.解析设直线AB：yx，代入y22px得：3x2(62p)x30，又因为，即M为A，B的中点，所以xB()2，即xB2，得p24p120，解得p2，p6(舍去)7已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为2.解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.8已知椭圆C：1，点M与椭圆C的焦点不重合若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|BN|12.解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF|1|GF|2)4a12.9(2018郴州三模)已知抛物线E：y28x，圆M：(x2)2y24，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(x05)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求QAB面积的最小值解析(1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y28x上，所以4y216x，所以曲线C的方程为y24x.(2)设切线方程为yy0k(xx0)令y0，可得xx0，圆心(2,0)到切线的距离d2，整理可得(x4x0)k2(4y02x0y0)ky40，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2，k1k2，所以QAB面积S|(x0)(x0)|y0222(x01)2设tx014，)，则f(t)2(t2)在4，)上单调递增，所以f(t)，即QAB面积的最小值为.B组1若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是( C )A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)解析由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1eb0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( A )A B C D解析解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为1，由题意可知M(c，m)，(0，)和B(a,0)三点共线，则，化简得a3c，则C的离心率e.解法二：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P(c，)设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故选A3(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为( B )A2 B4 C6 D8解析由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A(，2)，D(，)，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4.故选B(理)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( A )Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n，又(e1e2)211，所以e1e21.故选A4已知M(x0，y0)是曲线C：y0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若0，则x0的取值范围是( A )A(1,0)(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,1)解析由题意知曲线C为抛物线，其方程为x22y，所以F(0，)根据题意，可知N(x0,0)，x00，(x0，y0)，(0，y0)，所以y0(y0)0，即0y0.因为点M在抛物线上，所以有0.又x00，解得1x00或0x00，b0)，由题意可知，将xc代入，解得：y，则|AB|，由|AB|22a，则b22a2，所以双曲线离心率e.7已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若SABC3SBCF2，则椭圆的离心率为.解析如图所示，因为SABC3SBCF2，所以|AF2|2|F2C|.A(c，)，直线AF2的方程为：y0(xc)，化为：y(xc)，代入椭圆方程1(ab0)，可得：(4c2b2)x22cb2xb2c24a2c20，所以xC(c)，解得xC.因为2，所以c(c)2(c)，化为：a25c2，解得e.8设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，AF1AB且AF1AB，则椭圆C的离心率为.解析设|AF1|t，则|AB|t，|F1B|t，由椭圆定义有：|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AB|F1B|4a，化简得(2)t4a，t(42)a，所以|AF2|2at(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2(2c)2，所以(42)a2(22)a2(2c)2，所以()296()2，所以e.9(文)设F1、F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解析(1)由|AF1|3|F1B|及|AB|4得|AF1|3，|F1B|1，又ABF2的周长为16，由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k，由椭圆定义知：|AF2|2a3k，|BF2|2ak，在ABF2中，由余弦定理得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，(ak)(a3k)0，而ak0，a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k，|BF2|2|F2A|2|AB|2F2AAB，F2AAF1，AF1F2是等腰直角三角形，从而ca，所以椭圆离心率为e.(理)设点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：y21(a1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式(1)设P(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2x21c2，xa，a，由题意得，1c20，c1，则a22，椭圆C的方程为y21.(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆C的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得：m22k21.设d1|F1M|，d2|F2N|.当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|MN|tan|，|MN|d1d2|，S|d1d2|(d1d2)，m22k21，当k0时，|m|1，|m|2，即S2.当k0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S2.四边形F1MNF2面积S的最大值为2.
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