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1.5.2二项式系数的性质及应用(一)学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？思考3二项式系数的最大值有何规律？梳理(1)二项式系数表的特点在同一行中，每行两端都是_，与这两个1等距离的项的系数_每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(2)二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：C_；CC_；当r时，C_；当r时，_C；CCCC_.类型一与二项式系数表有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值反思与感悟对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论跟踪训练1请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是_类型二求展开式的系数和例2设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和1在(2x)4的展开式中，各项的二项式系数的和为_2若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为_3观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是_4设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_5若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定答案精析问题导学知识点思考1在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和思考22,4,8,16,32,64，其系数和为2n.思考3当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大梳理(1)1相等(2)CCCC2n题型探究例1解由题意及杨辉三角的特点可得S16(12)(33)(64)(105)(369)(CC)(CC)(CC)(CC)(CCCC)(239)C164.跟踪训练170例2解(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.与联立相减，得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)(2)10011001.(5)Tr1(1)rC2100r()rxr，a2k10(kN*)|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.跟踪训练2解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.当堂训练1162.53.64.155.7
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