2018-2019高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积学案 新人教A版必修2.doc

1.3.2球的体积和表面积学习目标1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题知识点球的表面积和体积公式1球的表面积公式S4R2(R为球的半径)；2球的体积公式VR3.1球的表面积等于它的大圆面积的2倍()2两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()3球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面()类型一球的体积和表面积例1(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题解(1)设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR343.(2)设球的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.反思与感悟(1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方跟踪训练1(1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A23 B49 C. D.(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案(1)B(2)解析(1)由两球的体积之比为827，可得半径之比为23，故表面积之比是49.(2)设大球的半径为R，由题意得R3213，得R.类型二与球有关的三视图问题例2一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为_考点球的表面积题点与三视图有关球的表面积计算问题答案4解析由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R1，所以S4122124.反思与感悟(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等跟踪训练2已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A. B. C. D.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案C解析由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V3111，故选C.类型三球的截面及切接问题例3如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考点球的体积题点与截面有关球的体积计算问题答案A解析如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5.V球53(cm3)反思与感悟(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.跟踪训练3用一平面去截球所得截面的面积为2，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为_考点球的表面积题点其他球的表面积计算问题答案12解析用一平面去截球所得截面的面积为2，所以小圆的半径为，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为，所以球的表面积为4()212.例4(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. B. C. D.考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是13.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案9解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则解得外接球半径为，外接球表面积为429.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.跟踪训练4(1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A1 B13C13 D19(2)表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A. B. C. D.考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案(1)C(2)A解析(1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，其体积比为3313.(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为a.正四面体的表面积为，4a2，解得a，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，2R，R，球的体积为3，故选A.1若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A3 B2 C1 D.考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案A解析设球的半径为R，则4R2R3，所以R3.2一个球的表面积是16，则它的体积是()A64 B. C32 D.考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4R216，故R2.所以球的半径为2，体积VR3.3如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为()A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm考点球的体积题点其他球的体积计算问题答案B解析由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，3r3r2(6r6)，解得r3，故选B.4两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为()A1 B2 C3 D4考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、面积问题答案B解析设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，则4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.5某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_考点球的表面积题点与三视图有关球的表面积计算问题答案3解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.1球的体积和表面积公式设球的半径为R(1)体积公式：VR3.(2)表面积公式：S4R2.2用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r.3常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算一、选择题1若两球的体积之和是12，经过两球球心的截面圆周长之和为6，则两球的半径之差为()A1 B2 C3 D4考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案A解析设两球的半径分别为R，r(Rr)，则由题意得解得Rr1.2如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为()A.， B.，1 C.，1 D.，考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点若干个几何体的体积、表面积关系答案A解析设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，V圆柱R22R2R3，V球R3，则，.3一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为()A(24) cm2 B(816) cm2C(48) cm2 D(1632) cm2考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案B解析一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为4 cm，正四棱柱的底面对角线长为2 cm，正四棱柱的高为2 cm，该棱柱的表面积为222422816 (cm2)，故选B.4一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3考点球的体积题点与截面有关球的体积计算问题答案C解析如图，根据题意，OO14 cm，O1A3 cm，OAR5(cm)，故球的体积VR3(cm3)故选C.5某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A30 B48 C72 D24考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案A解析由三视图可知几何体是由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体，所以V3243330.6等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()AS正方体S球 BS正方体S球CS正方体S球 D无法确定考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点若干个几何体的体积、表面积关系答案A解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得VR3a3，a，R，S正方体6a26，S球4R2.7一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为()A28 B322C282 D32考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案D解析由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S4423222232.二、填空题8如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点若干个几何体的体积、表面积关系答案312解析设球的半径为R，则V柱R22R2R3，V锥R22RR3，V球R3，故V柱V锥V球2R3R3R3312.9圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为_cm2.考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案100解析设该铁球的半径为r，则由题意得r3102，解得r5，这个铁球的表面积S452100(cm2)10已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案解析由题意得，该圆柱底面圆周半径r.该圆柱的体积为Vr2h21.11如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为_考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案32解析如图，ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，由题意知AD3OE，则OA2OE，设OEr，则OA2r，AD3r，在RtAEO中，sinEAO，又0EAO90，EAO30.在RtABD中，tanBAD，BDr.则AB2r，圆锥的侧面积为BDAB6r2，球的表面积为4r2，所求的比值为6r24r232.12已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AC3，AB4，ABAC，AA112，则球O的半径为_考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案解析可将直三棱柱ABCA1B1C1补形到长方体ABECA1B1E1C1中如图所示，则BC1为直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的直径，BC113，球O的半径为.三、解答题13某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123. 四、探究与拓展14圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()A1 B2 C4 D8考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案B解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2，又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.15有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题解设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1a，R1，a2R2，R2a，a2R3，R3a，所以R1R2R31.所以S1S2S3RRR123.即这三个球的表面积之比为123.