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二 用数学归纳法证明不等式举例1利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行2归纳猜想证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法利用数学归纳法证明不等式例1证明不等式12(nN)思路点拨证明(1)当n1时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时不等式成立，即12，则当nk1时，左边12，现在只需证明2成立，即证22k1成立，两边平方并整理，得01，显然成立，所以2成立即12成立所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，对于任意正整数n，原不等式都成立数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由nk到nk1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程1设Sn是数列的前n项和，当n2时，比较S2n与的大小，并予以证明解：由S221，S231S22，猜想：S2n(n2)下面用数学归纳法证明(1)当n2时，上面已证不等式成立(2)假设当nk(kN，k2)时，有S2k，则当nk1时，S2k1S2k，即当nk1时，不等式也成立结合(1)(2)可知，S2n(n2，nN)成立2用数学归纳法证明：12(n2，nN)证明：(1)当n2时，12，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即12，当nk1时，12Qn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，PnQn.归纳猜想证明例2设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(k1，kN)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN，都有an.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明4在数列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测an，bn的通项公式；(2)证明你的结论解：(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.(2)用数学归纳法证明：当n1时，由上知结论成立假设当nk时，结论成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以当nk1时， 结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立5判断是否存在一组常数a，b，c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立，若存在，求出a，b，c的一组值并证明；若不存在，试说明理由解：假设存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)，对于一切nN都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.由方程组可解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN都成立1下列四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN)，当n1时恒为1B式子1kk2kn1(nN)，当n1时恒为1kC式子1(nN)，当n1时恒为1D设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)解析：选C选项A中，n1时，式子应为1k；选项B中，n1时，式子应为1；选项D中，f(k1)f(k).2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D6解析：选C令n0分别取2,3,4,5,6，依次验证即得3某个命题与正整数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：选C如果n4时命题成立，那么由题设，n5时命题也成立上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是如果n5时命题不成立，那么n4时命题也不成立原命题成立，它的逆否命题一定成立4设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述记录，可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对解析：选Cf(2)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).5证明11)，当n2时，要证明的式子为_解析：当n2时，要证明的式子为213.答案：21时，f(2k1)f(2k)_.解析：f(2k1)1，f(2k)1，所以f(2k1)f(2k).答案：8用数学归纳法证明，对任意nN，有(12n)n2.证明：(1)当n1时，左边右边，不等式成立当n2时，左边(12)22，不等式成立(2)假设当nk(k2)时不等式成立，即(12k)k2.则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，11，(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，不等成立由(1)(2)可知当n1时，不等式成立9已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当n1时，由已知得a11，即a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN)(2)证明：由(1)知，当n1时，通项公式成立假设当nk(kN)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知对所有nN，an都成立10设数列an满足an1anan1，n1,2,3.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a3时，证明对所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明当n1，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，当nk1时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，有ann2.
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