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第十一单元 选考4部分课时作业(六十七)第67讲坐标系基础热身1.(10分)2017广西模拟 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-3)2+(y+1)2=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线OP:=6(R)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.2.(10分)2017南昌二模 已知直线l的直角坐标方程为y=3x.在以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2-4cos -23sin +4=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA|OB|的值.能力提升3.(10分)2017唐山三模 在平面直角坐标系中,点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,将点P绕点O逆时针旋转90得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)射线=3(0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,定点M(2,0),求MAB的面积.4.(10分)在平面直角坐标系中,曲线C1的方程为x2+y2+2x-4=0,曲线C2的方程为y2=x,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)求曲线C1与C2的交点A,B的极坐标,其中0,02.5.(10分)2017黔东南州一模 在极坐标系中,点M的坐标为3,2,曲线C的方程为=22sin+4.以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为-1的直线l经过点M.(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程;(2)若P为曲线C上任意一点,直线l和曲线C相交于A,B两点,求PAB面积的最大值.6.(10分)2017东北育才中学月考 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x23+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=4sin+3,射线OM的极坐标方程为=0(0).(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若射线OM平分曲线C2,且与曲线C1交于点A,曲线C1上的点B满足AOB=2,求|AB|.难点突破7.(10分)2017太原一模 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x22+y2=1,曲线C2的方程为x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当02时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.8.(10分)2017泉州三模 已知圆C的参数方程为x=a+acos,y=asin(为参数,0a5),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin+4=22,若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=22.(1)求a;(2)若M,N为圆C上的两点,且MON=3,求|OM|+|ON|的最大值.课时作业(六十八)第68讲参数方程基础热身1.(10分)2017宜春二模 已知直线l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=1,直线l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求的取值范围;(2)以为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.2.(10分)2017沈阳期末 在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=2cos .(1)写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且|MA|MB|=40,求倾斜角的值.能力提升3.(10分)2017新乡二模 已知直线l的参数方程为x=tcos,y=2+tsin(t为参数,00).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos+4=-22.(1)设P是曲线C上的一个动点,当a=23时,求点P到直线l的距离的最大值;(2)若曲线C上所有的点均在直线l的右下方,求a的取值范围.课时作业(六十九)第69讲不等式的性质及绝对值不等式基础热身1.(10分)2017湖北黄冈一模 已知函数f(x)=|2x-a|+|2x-1|(aR).(1)当a=-1时,求f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含集合12,1,求实数a的取值范围.2.(10分)2017湖南长郡中学模拟 已知函数f(x)=|x-1|-|2x|.(1)解不等式f(x)-3;(2)求函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积.能力提升3.(10分)已知函数f(x)=|x-m|+|x|(mR).(1)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x)10;(2)若对于任意的x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2),试求a的取值范围.课时作业(七十)第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式基础热身1.(10分)2017石家庄模拟 已知函数f(x)=|x+1|+|x-5|的最小值为m.(1)求m的值;(2)若a,b,c均为正实数,且a+b+c=m,求证:a2+b2+c212.2.(10分)2017衡水中学三模 已知实数a,b满足a2+b2-ab=3.(1)求a-b的取值范围;(2)若ab0,求证:1a2+1b2+344ab.能力提升3.(10分)2017巢湖模拟 已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若aM,试比较|a-1|+|a+1|,32a,72-2a的大小.4.(10分)已知函数f(x)=|x+5|-|x-1|(xR).(1)解关于x的不等式f(x)x;(2)记函数f(x)的最大值为k,若lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.5.(10分)已知a,b为任意实数.(1)求证:a4+6a2b2+b44ab(a2+b2);(2)求函数f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-1)|的最小值.6.(10分)2017安阳二模 已知函数f(x)=2|x+1|-|x-1|.(1)求函数f(x)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积m;(2)在(1)的条件下,若(a,b)(ab)是函数g(x)=mx图像上一点,求a2+b2a-b的取值范围.难点突破7.(10分)2017武汉二模 已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10.(1)求a+b+c的值;(2)求14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值,并求出此时a,b,c的值.8.(10分)2017昆明模拟 已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.(1)证明:|am+bn+cp|1;(2)若abc0,证明:m4a2+n4b2+p4c21. 课时作业(六十七)1. 解:(1)(x-3)2+(y+1)2=9可化为x2+y2-23x+2y-5=0,故圆C的极坐标方程为2-23cos +2sin -5=0.(2)将=6代入2-23cos +2sin -5=0,得2-2-5=0.设M1,6,N2,6,1+2=2,12=-5,|MN|=|1-2|=4+20=26.2. 解:(1)将x=cos ,y=sin ,2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程,得x2+y2-4x-23y+4=0,即(x-2)2+(y-3)2=3.故曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-3)2=3. (2)直线l的极坐标方程是=3(R),代入曲线C的极坐标方程,得2-5+4=0,所以AB=4,所以|OA|OB|=|AB|=4.3. 解:(1)(x-2)2+y2=4可化为x2+y2-4x=0,把x=cos ,y=sin 代入,可得曲线C1的极坐标方程为=4cos .设Q(,),则P,-2,则有=4cos-2=4sin ,所以曲线C2的极坐标方程为=4sin .(2)M到射线=3(0)的距离为d=2sin3=3,|AB|=|B-A|=4sin3-cos3=23-2,则SMAB=12 |AB|d=3-3.4. 解:(1)依题意,将x=cos,y=sin代入x2+y2+2x-4=0,可得2+2cos -4=0.将x=cos,y=sin代入y2=x,化简得sin2=cos .故曲线C1的极坐标方程为2+2cos -4=0,曲线C2的极坐标方程为sin2=cos .(2)将y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=1,C1与C2交点的直角坐标为A(1,1),B(1,-1),A=1+1=2,B=1+1=2,tan A=1,tan B=-1,A=4,B=74,故A2,4,B2,74.5. 解:(1)在极坐标系中,点M的坐标为3,2,x=3cos2=0,y=3sin2=3,点M的直角坐标为(0,3),直线l的方程为y=-x+3.由=22sin+4,得2=2sin +2cos ,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2.(2)圆心(1,1)到直线y=-x+3的距离d=|-1-1+3|2=22,圆上的点到直线l距离的最大值为d+R=322,而|AB|=2R2-d2=22-12=6,PAB面积的最大值为126322=332.6. 解:(1)曲线C1的直角坐标方程为x23+y2=1,把x=cos ,y=sin 代入,得曲线C1的极坐标方程为2=31+2sin2.曲线C2的极坐标方程为=4sin+3,即=4sin cos3+4cos sin3,即2=2sin +23cos ,把x=cos ,y=sin ,2=x2+y2代入, 得x2+y2=2y+23x,曲线C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)曲线C2是圆心为(3,1),半径为2的圆,射线OM的极坐标方程为=6(0),代入2=31+2sin2,可得A2=2.又AOB=2,B2=65,|AB|=|OA|2+|OB|2=A2+B2=455.7. 解:(1)将x=cos ,y=sin ,2=x2+y2分别代入曲线C1,C2的直角坐标方程,得C1:2+2sin2-2=0,C2:=2sin ,故C1的极坐标方程为2=21+sin2,C2的极坐标方程为=2sin .(2)将=(0)代入C1的极坐标方程得|OA|2=21+sin2,将=(0)代入C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2,则|OA|2+|OB|2=21+sin2+4sin2=21+sin2+4(1+sin2)-4,令t=1+sin2,则t(1,2),则|OA|2+|OB|2=2t+4t-4,函数y=2t+4t-4在(1,2)上单调递增,|OA|2+|OB|2(2,5).8. 解:(1)由x=a+acos,y=asin,得x-a=acos,y=asin,圆C的普通方程为(x-a)2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a.sin+4=sin cos4+cos sin4=22,把x=cos ,y=sin 代入,得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.圆心到直线l的距离d=|a-4|2,|AB|=2r2-d2=22,即a2-(a-4)22=2,解得a=2或a=-10,0a5,a=2.(2)由(1)得,圆C:(x-2)2+y2=4,把x=cos ,y=sin 代入,得(cos -2)2+(sin )2=4,化简得圆C的极坐标方程为=4cos .依题意,设M(1,1),N2,1+3,则-212,-21+32,-216, |OM|+|ON|=1+2=4cos 1+4cos1+3=6cos 1-23sin 1=43cos1+6,-31+60,得|sin |32,又0,的取值范围是3,23.(2)设P1(t1cos ,-2+t1sin ),P2(t2cos ,-2+t2sin ),由(1)中的(*)可知,t1+t22=2sin ,可得P1P2中点的轨迹方程为x=sin2,y=-1-cos2为参数,323.故线段P1P2中点轨迹的参数方程为x=sin2,y=-1-cos2为参数,30,所以=4.3. 解:(1)由x=tcos,y=2+tsin消去t,得xsin -ycos +2cos =0,所以直线l的普通方程为xsin -ycos +2cos =0.由cos2=8sin ,得(cos )2=8sin ,把x=cos ,y=sin 代入上式,得x2=8y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y.(2)将直线l的参数方程代入x2=8y,得t2cos2-8tsin -16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=8sincos2,t1t2=-16cos2,所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=64sin2cos4+64cos2=8cos2,当=0时,|AB|取得最小值,为8.4. 解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2,圆心到直线的距离d=|2|2=2,所以C1上的点到C2的距离的最小值为2-1.(2)伸缩变换为x=2x,y=3y,所以C1:x24+y23=1,故C1:x24+y23=1.将C2的参数方程与C1的方程联立,得7t2+22t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-227,t1t2=-107,因为t1t2=-1070,02,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则1|FM|+1|FN|=-1t1+1t2=-t1+t2t1t2=2(sin +cos )=22sin+4,22sin+41,20恒成立,即a2+4cos(t+)+40其中tan=2a恒成立,所以a2+40,所以0a23,故a的取值范围为(0,23).课时作业(六十九)1. 解:(1)当a=-1时,f(x)=|2x+1|+|2x-1|,由f(x)2,得x+12+x-121,上述不等式等价于数轴上点x到两点-12,12距离之和小于等于1,则-12x12,即原不等式的解集为x|-12x12.(2)因为f(x)|2x+1|的解集包含12,1,所以当x12,1时,不等式f(x)|2x+1|恒成立, 所以|2x-a|+2x-12x+1,即|2x-a|2,所以2x-2a2x+2,x12,1恒成立,所以(2x-2)maxa(2x+2)min,得0a3.2. 解:(1)由题意可得f(x)=1+x,x0,1-3x,0x-3,所以当x0时,由1+x-3,解得x-4,即-4x0;当0x-3,解得x43,即0x-3,解得x2,即1x-3的解集为(-4,2).(2)如图,画出函数f(x)的图像,易得函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为-1,13,故函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积为12431=23.3. 解:(1)由f(1)=1可得|1-m|+1=1,故m=1.由f(x)2可得|x-1|+|x|2.当x0时,不等式可变为(1-x)-x-12,-12x0;当0x1时,不等式可变为(1-x)+x2,即11时,不等式可变为(x-1)+x2,解得x32,1x0,则|a|-10,解得-1a1.综上,实数a的取值范围是a|-1a1.(2)若关于x的不等式f(x)1存在实数解,则f(x)min1, 又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,所以(a-1)21,解得0a2,所以实数a的取值范围是a|0a2.5. 解:(1)根据绝对值的意义可知,|x+1|+|x-1|表示数轴上的点x到点-1,1的距离之和,它的最小值为2,故不等式|x+1|+|x-1|2的解集为M=-1,1.(2)xM,|y|16,|z|19,|x+2y-3z|x|+2|y|+3|z|1+216+319=53,|x+2y-3z|53.6. 解:(1)|x+2|+|x-1|表示数轴上的点x到点-2和1的距离之和.当x=-3或2时,f(x)=5,依据绝对值的几何意义可得f(x)5的解集为x|-3x2.(2)g(a)=1a+2a+1a-1.当a0时,g(a)=-2a-2a+15,当且仅当a=-1时,等号成立,所以g(a)4无解;当0a1时,g(a)=2a+2a-1,由g(a)4得2a2-5a+20,解得12a2,又因为01时,g(a)=2a+14,解得1a32.综上,a的取值范围是12,32.7. 解:(1)当a=0时,由f(x)g(x)得|2x+1|x|,两边平方整理得3x2+4x+10,解得x-1或x-13,原不等式的解集为-,-1-13,+.(2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,则h(x)=-x-1,x-12,3x+1,-12x0,x+1,x0,故h(x)min=h-12=-12,从而实数a的取值范围为-12,+. 8. 解:(1)当x10,解得x10,解得x9,不符合题意;当x3时,f(x)=x-3+2x-2=3x-510,解得x5.故原不等式的解集为x|x5.(2)由(1)知f(x)=-3x+5,x3,根据函数f(x)的图像(图略)可知,当x=1时,f(x)取得最小值,且f(1)=2,易知g(x)=|x-a|+|a+x|x-a-(x+a)|=2|a|,对于任意的x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2),2|a|2,-1a1,a的取值范围为-1,1.课时作业(七十)1. 解:(1)f(x)=|x+1|+|x-5|x+1-x+5|=6,m=6.(2)证明:a2+b22ab,a2+c22ac,c2+b22cb,2(a2+b2+c2)2(ab+ac+bc),3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,a+b+c=6,a2+b2+c212.2. 解:(1)因为a2+b2-ab=3,所以a2+b2=3+ab2|ab|.当ab0时,3+ab2ab,解得ab3,即0ab3;当ab0时,3+ab-2ab,解得 ab-1,即-1ab0.所以-1ab3,则03-ab4,而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab,所以0(a-b)24,即-2a-b2.(2)证明:由(1)知0ab3,因为1a2+1b2+34-4ab=a2+b2a2b2-4ab+34=3+aba2b2-4ab+34=3a2b2-3ab+34=31a2b2-1ab+14=31ab-1220,当且仅当ab=2时取等号,所以1a2+1b2+344ab.3. 解:(1)f(x)=-3x,x12.根据函数f(x)的单调性可知,f(x)min=f12=32,所以函数f(x)的值域M=32,+.(2)因为aM,所以a32,所以00,4a-30,所以(a-1)(4a-3)2a0,所以32a72-2a,所以|a-1|+|a+1|32a72-2a.4. 解:(1)当x-5时,由-(x+5)+(x-1)x得-6x-5;当-5x1时,由(x+5)+(x-1)x得-5x-4;当x1时,由(x+5)-(x-1)x得x6.因此f(x)x的解集为x|-6x-4或x6.(2)易知k=6,则由lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k)2ab=a+4b+62ab4ab+6ab-2ab-30(ab-3)(ab+1)0ab3ab9,所以ab的最小值为9. 5. 解:(1)证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4,因为(a-b)40,所以a4+6a2b2+b44ab(a2+b2).(2)f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-1)|=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+|2x-2(2a3b+2ab3-1)|2x-2(2a3b+2ab3-1)-2x-a4+(1-6a2b2-b4)|=|(a-b)4+1|1,即f(x)min=1.6. 解:(1)f(x)=2|x+1|-|x-1|=x+3,x1,3x+1,-1xb,则a2+b2a-b=a-b+2aba-b=a-b+12a-b43,当且仅当a-b=12a-b时,取等号;若a0,b0,f(x)的最大值为a+b+c.又已知f(x)的最大值为10,a+b+c=10.(2)由(1)知a+b+c=10,由柯西不等式得14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2(22+12+12)(a+b+c-6)2=16,即14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)283,当且仅当14(a-1)=b-2=c-3,即a=113,b=83,c=113时,等号成立.故14(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值为83,此时a=113,b=83,c=113.8. 证明:(1)因为|am+bn+cp|am|+|bn|+|cp|,a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以|am|+|bn|+|cp|a2+m22+b2+n22+c2+p22=a2+b2+c2+m2+n2+p22=1,所以|am+bn+cp|1.(2)因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以m4a2+n4b2+p4c2=m4a2+n4b2+p4c2(a2+b2+c2)m2aa+n2bb+p2cc2=(m2+n2+p2)2=1,所以m4a2+n4b2+p4c21.
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