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3.4生活中的优化问题举例【选题明细表】知识点、方法题号几何中的最值问题1,4,10用料最省、费用最省问题6,8,11利润最大问题5,7,9其他问题2,3【基础巩固】1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2()(0x60),则当箱子的容积最大时,x的值为(B)(A)30 (B)40 (C)50(D)60解析:V(x)=-x3+30x2,V(x)=-x2+60x,令V(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0x0,当40x60时V(x)0,故V(x)在x=40时取得最大值.故选B.2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:)为f(x)=x3-x2+8(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)(A)8(B)(C)-1(D)-8解析:原油温度的瞬时变化率为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选C.3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为(B)(A)2和6(B)4和4(C)3和5(D)以上都不对解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0x4时,y0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.故选B.4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(A)(A)()3(B)()3(C)()3(D)()3解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,所以h=,V=r2h=r2-2r3(0r0,所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,V取得最大值,最大值为()3.故选A.5.(2018石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为(A)(A)3.2%(B)2.4%(C)4%(D)3.6%解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0x0.048),故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0x0;当0.032x0.048时,y0),则L=2-.令L=0,得x=16.因为x0,所以x=16.当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).答案:32,167.(2018长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为件时,总利润最大.解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p2=,p=,x0.设总利润为y万元,则y=x-1 200-x3=500-x3-1 200.求导数得,y=-x2.令y=0得x=25.故当x0;当x25时,y0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.答案:258.(2018南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35,即y=+300x(0x35).(2)由(1)知,y=-+300,令y=0,解得x=40或x=-40(舍去).因为函数的定义域为(0,35,所以函数在定义域内没有极值点.又当0x35时, y0;当5x12时,g(x)0,所以当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(元).综上,5月份的月利润最大,是3 125元.故选B.10.(2018杭州高二检测)在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为(D)(A)(B)r (C)r(D)r解析:设梯形的上底长为2x(0x0;当xr时,S0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0x5时,y5时,y0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:5
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