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习题课-空间向量在空间问题中的综合应用课后训练案巩固提升1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到ABC重心G的距离为 ()A.2B.C.1D.解析:以P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),于是G,故|=.答案:D2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D;A1M平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:因为,所以,所以A1MD1P,由线面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1,故正确.答案:C3.如图,在四面体A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为()A.B.C.2D.解析:因为,|=|=1=|,且=0.又=()2,所以=3,即AE的长为.答案:B4.已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2解析:因为,所以|2=|2=|2+|2+|2+2()=22+22+22+2(0+0+0)=12,故|=2.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:()2=3;()=0;的夹角为60;正方体的体积为|.其中正确命题的序号是.解析:()2=()2+()2+()2+2()=3()2,故正确;设正方体棱长为a,则()=()()=a2-0+0-0+0-a2=0,故正确;的夹角应为120,故错误;正方体的体积应为|,故错误.答案:6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和等于.解析:以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),=(x-1,0,1).又F(0,0,1-y),B(1,1,1),=(1,1,y).ABB1E,若B1E平面ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:17.如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且BAE=120,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.(1)求证:直线DE与平面FGH平行;(2)若点P在直线GF上,且平面ABP与平面BDP夹角的大小为,试确定点P的位置.(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.G,H分别是AE,BC的中点,MHAB,GFAB,M平面FGH.又MGDE,且DE平面FGH,MG平面FGH,DE平面FGH.(2)解在平面ABE内,过点A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP平面ABCD.以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).则=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).设=(0,2,0),则=(,2-5,0).设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),则取y=,得z=2,x=5-2,故n1=(5-2,2).又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),因此cos=,解得=1或=4.故=4(P(,1,0)或P(,7,0).8.如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BCDE,DCB=45,O是BC中点,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=2.(1)证明:AO平面BCD;(2)求平面ACD与平面BCD夹角的正切值.(1)证明易得OC=3,连接OD,OE,在OCD中,由余弦定理可得OD=,因为AD=2,所以AO2+OD2=AD2,所以AOOD.同理可证AOOE,又ODOE=O,所以AO平面BCD.(2)解以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),则A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),由(1)知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos=,故平面ACD与平面BCD夹角的正切值为.9.导学号90074050如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD.(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长.在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).在平面ABCD内,作CEAB交AD于点E,则CEAD.在RtCED中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n,n,得取x=t,得平面PCD的一个法向量为n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30,得cos 60=,即,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t0),所以AB=.(方法一)如图,假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(0m4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由|=|,得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;由|=|,得(4-t-m)2=m2+t2.由消去t,化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一点,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而在线段AD上不存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.(方法二)如图,假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由GC=GD,得GCD=GDC=45,从而CGD=90,即CGAD,所以GD=CDcos 45=1.因为AB=t,AD=4-t,所以AG=AD-GD=3-t.在RtBAG中,GB=1,这与GB=GD矛盾.所以在线段AD上不存在一点G,使得点G到点B,C,D的距离都相等.从而在线段AD上不存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
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