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2.2.2反证法课后训练案巩固提升一、A组1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设;已知条件;定义、公理、定理等;原结论.A.B.C.D.解析:除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案:C2.实数a,b,c不全为正数,是指()A.a,b,c均不是正数B.a,b,c中至少有一个是正数C.a,b,c中至多有一个是正数D.a,b,c中至少有一个不是正数解析:实数a,b,c不全为正数,是指a,b,c中至少有一个不是正数,故选D.答案:D3.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60B.四面体的三组对棱都是异面直线C.在区间(a,b)内单调的函数f(x)至多有一个零点D.若a,bZ,且a+b为偶数,则a,b都不是奇数解析:当a,bZ,且a+b为偶数时,a,b可以都是偶数,也可以都是奇数,故D项错误.答案:D4.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()A.至少有一个是正数B.都是正数C.一个是正数,一个是负数D.都是负数解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.答案:A5.用反证法证明命题“若a+b+c0,abc0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为()A.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零B.a,b,c三个实数中最多有两个小于零C.a,b,c三个实数中至少有两个小于零D.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零解析:“最多有一个”的否定是“至少有两个”.故选C.答案:C6.命题“在ABC中,AB,则ab”,用反证法证明时,假设应该是.解析:结论是“ab”,其否定是“ab”.答案:ab7.“x=0,且y=0”的否定形式为.解析:“p且q”的否定形式为“p或q”.答案:x0或y08.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.与矛盾,故假设不成立,故p为偶数.解析:由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.答案:a1-1,a2-2,a7-7奇数09.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.10.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.证明:假设ME与BN共面,则AB平面MBEN,且平面MBEN平面DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得AB平面DCEF.又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF,这与ENEF=E矛盾,故假设不成立,所以ME与BN不共面,即直线ME与BN是两条异面直线.二、B组1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数解析:“至少有一个”的否定是“一个都没有”.答案:B2.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时应分:假设和两类.解析:反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案:BAP=CAPBAPCAP3.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).解析:若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;若a+b2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故答案为.答案:4.导学号40294015已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明:假设m是奇数,不妨设m=2k-1(kZ),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因为kZ,所以k2+2kZ,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.5.已知a,b,c,dR,且a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数,即a0,b0,c0,d0,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,于是ac+bd=1-(ad+bc)1,这与ac+bd1相矛盾,故假设不成立,即a,b,c,d中至少有一个是负数.6.设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.(1)解:设an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)证明:假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.
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