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平面向量的实际背景及基本概念分层训练进阶冲关A组 基础练(建议用时20分钟)1.下列说法中正确的个数是(B)(1)身高是一个向量.(2)AOB的两条边都是向量.(3)物理学中的加速度是向量.A.0B.1C.2D.32.若|a|=|b|,那么要使a=b,两向量还需要具备(B)A.方向相反B.方向相同C.共线D.方向任意3.如图所示,A,B,C是O上的点,则向量,是(C)A.有相同起点的向量B.方向相同的向量C.模相等的向量D.相等的向量4.下列命题中正确的个数为(B)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同;若非零向量a与b共线,则a=b;四边形ABCD是平行四边形,则必有|=|;ab,则a,b方向相同或相反.A.0个B.1个C.2个D.3个5.若|=|且=,则四边形ABCD的形状为(C)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形6.如图所示,点C,D是线段AB的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有(B)A.3个B.6个C.8个D.12个7.如图所示,已知正方形ABCD边长为2,O为其中心,则|=.8.已知A=与a共线的向量,B=与a长度相等的向量,C=与a长度相等,方向相反的向量,其中a为非零向量,则命题:CA;AB=a;CB中错误的是.9.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=0.10.如图,四边形ABCD为等腰梯形,有下列结论:与是共线向量;=;.其中正确的结论有0个.11.如图所示,已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.(1)与相等的向量有哪些?(2)与共线的向量有哪些?(3)若|=1.5,求|的大小.【解析】(1)与相等的向量即与同向且等长的向量,有,.(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量,有,.(3)若|=1.5,则|=|=|+|=2|=3.12.如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,求向量的模、的模以及的模.【解析】因为正方体ABCD-ABCD的棱长为1,所以|=1,|=,|=.B组 提升练(建议用时20分钟)13.下列说法正确的是(C)A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反B.若向量,满足|,且与同向,则C.若ab,则a与b可能是共线向量D.若=,则A与C重合,B与D重合.14.如图,在菱形ABCD中,DAB=120,则以下说法错误的是(D)A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线15.给出以下五个条件:a=b;|a|=|b|;a与b的方向相反;|a|=0或|b|=0;a与b都是单位向量.其中能使ab成立的是.16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形,则图中与向量相等的向量是和 .17.已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.画图表示向量,并指出向量的模和方向.【解析】以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.据题设,B点在第一象限,C点在x轴正半轴上,D点在第四象限,向量,如图所示,由已知可得,ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.又ACD=45,CD=1 000 km,所以ADC为等腰直角三角形,所以AD=1 000 km,CAD=45.故向量的模为1 000 km,方向为东南方向.18.如图,已知=.求证:(1)ABCABC.(2)=,=.【证明】(1)因为=,所以|=|,且.又因为A不在上,所以AABB.所以四边形AABB是平行四边形.所以|=|.同理|=|,|=|.所以ABCABC.(2)因为四边形AABB是平行四边形,所以,且|=|.所以=.同理可证,=.C组 培优练(建议用时15分钟)19.已知向量a,b是两个非零向量,分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各式正确的是(D)A.=B.=或=C.= D.与的长度相等20.如图所示,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=且=,求证:=.【证明】因为=,所以|=|且ABDC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以|=|且DACB.又因为与的方向相同,所以=.同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以=.因为|=|,|=|,所以|=|.又与的方向相同,所以=.
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