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2.4.2二次函数的性质一、选择题1下列区间中，使y2x2x增加的是()ARB2，)C，)D(，答案D解析由y2(x)2，可知函数在(，上是增加的2函数yax2bx3在(，1上是增加的，在1，)上是减少的，则()Ab0且a0Bb2a0Da，b的符号不定答案B解析因为函数yax2bx3在(，1上是增加的，在1，)上是减少的，所以a0，且在对称轴x1处取最大值，故b2af(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,2ab0Daf(1)，所以ab0，故选A.2已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是()Af(1)25Bf(1)25Cf(1)25Df(1)25答案A解析f(x)4x2mx5在，)上是增加的，故2，)，)，即2，m16.f(1)9m25.二、填空题3设函数f(x)4x2(a1)x5在1，)上是增加的，在(，1上是减少的，则f(1)_.答案1解析1，a9.f(1)4(1)28(1)51.4已知二次函数yx22xm的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程x22xm0的根为_答案3或1解析由图像知f(3)0，m3.由x22x30得x22x30，x3或1.三、解答题5已知函数yx22x3在0，m上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围解析yx22x3(x1)22，作出如下函数图像：图像的对称轴为x1，顶点坐标为(1,2)函数的最小值为2，10，m又当y3时，解x22x33，得x0或x2.再观察图像得：1m2.6已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间1,1上，yf(x)的图像恒在y2x2m1的图像上方，试确定实数m的取值范围解析(1)由f(0)f(2)知二次函数f(x)的图像关于x1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)a(x1)21，因为f(0)3，得a2，故f(x)2x24x3.(2)要使函数不单调，则2a1a1，则0a2x2m1，化简得x23x1m0.设g(x)x23x1m，则只要g(x)min0，因为x1,1时，g(x)是减少的，所以g(x)ming(1)1m，因此有1m0，得m1.7设f(x)x2ax3a，且f(x)在闭区间2,2上恒取非负数，求a的取值范围解析f(x)23a，f(x)0在x2,2恒成立的条件是f(x)在x2,2上的最小值非负(1)当4时，f(x)在2,2上是增函数，最小值为f(2)73a，由73a0，得a，这与a4矛盾，此时a不存在(2)当22，即4a4时，f(x)在2,2上的最小值为f3a，3a0a24a120，6a2.结合4a4，可知此时4a2.(3)当2，即a4时，f(x)在2,2上是减函数，最小值为f(2)7a，由7a0，得a7.a4，7abc，abc0(a，b，cR)(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f(x)g(x)0的两个实数根都小于2.解析(1)若f(x)g(x)0，则ax22bxc0，4b24ac4(ac)24ac4(a)2c20，故两函数的图像交于不同的两点(2)设h(x)f(x)g(x)ax22bxc，令h(x)0可得ax22bxc0.由(1)可知，0.abc，abc0(a，b，cR)，a0，c0，12，即有，结合二次函数的图像可知，方程f(x)g(x)0的两个实数根都小于2.9某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x0.4)(元/度)成反比例又当x0.65元/度时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ？(收益用电量(实际电价成本价) .解析(1)y与x0.4成反比例，设y( 0)将x0.65，y0.8代入上式，得0.8，解得 0.2.y，即y与x之间的函数关系式为y.(x)(2)根据题意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120 )整理，得x21.1x0.30.解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范围是0.55 0.75之间，故x0.5不符合题意，应舍去取x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .
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