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34.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysinx，ycosx，ytanx都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期知识链接1观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x2k)sinx(kZ)当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现2设f(x)sinx，则sin(x2k)sinx可以怎样表示？答f(x2k)f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x2k时，函数值重复出现预习导引1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x知ysinx与ycosx都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.3yAsin(x)，yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的最小正周期T.要点一求正弦、余弦函数的周期例1求下列函数的周期：(1)ysin(xR)；(2)y|sin2x|(xR)解(1)方法一令z2x，xR，zR.函数f(x)sinz的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sinz(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数f(x)sin(xR)的周期是.方法二f(x)sin的周期为.(2)作出y|sin2x|的图象由图象可知，y|sin2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“xT”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法：对于形如函数yAsin(x)，0(或yAcos(x)，0)的周期求法通常用公式T来求解对于形如y|Asin x|(或y|Acos x|)的周期情况常结合图象来解决跟踪演练1求下列函数的最小正周期：(1)ycos2x；(2)ysinx；(3)y2sin.解(1)定义法：令u2x，则cos2xcosu是周期函数，且最小正周期为2.cos(u2)cosu，则cos(2x2)cos2x，即cos2(x)cos2x.cos2x的最小正周期为.公式法：2，T，故ycos2x的周期为.(2)如果令ux，则sinxsinu是周期函数，且最小正周期为2.sinsin，即sinsinx.ysinx的最小正周期是4.(3)2sin2sin，即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.要点二正弦、余弦函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，求f的值解f(x)的最小正周期是，ffff(x)是R上的偶函数，ffsin.f.规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪演练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解因f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.1函数ysin(4x)的周期是()A2BC.D.答案C解析T.2下列函数中，周期为的是()AysinBysin2xCycosDycos(4x)答案D解析T.3已知函数f(x)对于任意xR满足条件f(x3)，且f(1)，则f(2014)等于()A.B2C2013D2014答案B解析因为f(x6)f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2014)f(4)2.4已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f(8)_.答案2解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T.如y|sinx|.(3)公式法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.一、基础达标1在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos(2x)，ysin(x)中，最小正周期为的所有函数为()ABCD答案C解析ycos|2x|cos2x，T.由图象知，函数的周期T.T.T4.综上可知，最小正周期为的所有函数为.2函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A5B10C15D20答案B3设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数答案B解析sinsincos2x，f(x)cos2x.又f(x)cos(2x)cos2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数4下列函数中，不是周期函数的是()Ay|cosx|Bycos|x|Cy|sinx|Dysin|x|答案D解析画出ysin|x|的图象，易知5f(x)2sin(x)m，对任意实数t都有f(t)f(t)，且f()3，则实数m的值等于()A1B5C5或1D5或1答案C解析由f(t)f(t)知，函数f(x)关于x对称，故sin()1或sin()1.当sin()1时，由f()3知2m3，得m5；当sin()1时，由f()3知2m3，得m1.6函数y3sin的最小正周期为_答案解析T.7若函数f(x)sin(nZ)，求f(97)f(98)f(99)f(102)的值解sinsinsin(nZ)，f(n)f(n12)即函数f(x)的周期T12.971281,1021286，f(97)f(98)f(99)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)sinsinsinsinsinsin102.二、能力提升8下列函数中，周期为2的是()AysinBysin2xCyDy|sin2x|答案C解析ysin的周期为T4；ysin2x的周期为T；y的周期为T2；y|sin2x|的周期为T.故选C.9已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)，且当x0,1时，f(x)2x，则f(7.5)_.答案解析f(x1)，f(x2)f(x)，f(7.5)f(80.5)f(0.5)，又x0,1时，f(x)2x，则f(0.5)20.5，f(7.5).10设函数f(x)sinx，则f(1)f(2)f(3)f(2013)_.答案解析f(x)sinx的周期T6.f(1)f(2)f(3)f(2013)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2011)f(2012)f(2013)335f(33561)f(33562)f(33563)3350f(1)f(2)f(3)sinsinsin.11定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx.(1)当x，0时，求f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在，上的函数简图；(3)当f(x)时，求x的取值范围解(1)f(x)是偶函数，f(x)f(x)而当x时，f(x)sinx.当x时，f(x)f(x)sin(x)sinx.又当x时，x，f(x)的周期为，f(x)f(x)sin(x)sinx.当x，0时，f(x)sinx.(2)如图(3)由于f(x)的最小正周期为，因此先在，0上来研究f(x)，即sinx，sinx，x.由周期性知，当x，kZ时，f(x).12已知函数f(x)log|sinx|.(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期解(1)|sinx|0，sinx0，xk，kZ.函数的定义域为x|xk，kZ0|sinx|1，log|sinx|0，函数的值域为y|y0(2)函数的定义域关于原点对称，f(x)log|sin(x)|log|sinx|f(x)，函数f(x)是偶函数(3)f(x)log|sin(x)|log|sinx|f(x)，函数f(x)是周期函数，且最小正周期是.三、探究与创新13已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)(f(x)0)(1)求证：函数f(x)是周期函数(2)若f(1)5，求f(f(5)的值(1)证明f(x2)，f(x4)f(x)，f(x)是周期函数，4就是它的一个周期(2)解4是f(x)的一个周期f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(1).
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