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第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知数列an是等比数列,给出以下数列:|an|;an-an+1;a1an;kan.则其中一定是等比数列的是()A.B.C.D.解析当数列an为1,1,1,1,时,数列an-an+1不是等比数列;当k=0时,数列kan不是等比数列,而|an|和a1an一定是等比数列.答案C2.已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=()A.B.22C.2D.2解析设公比为q,由已知,得a1q2a1q8=2(a1q4)2.q2=2.因为等比数列an的公比为正数,所以q=2,所以a1=a2q=12=22,故选B.答案B3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析依题意可知a32=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,于是a2=-8+2=-6.答案B4.已知等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.1+log35D.2+log35解析因为an是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=log395=10.答案B5.在等比数列an中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-26解析因为an是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2a13=a713=(-2)13=-213.答案A6.已知数列an是首项为a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于.解析依题意,得2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,整理,得q4+q2-2=0,解得q2=1(q2=-2舍去),所以q=1或q=-1.答案1或-17.已知数列an是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8=.解析设an的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=22,所以a6+a8=q3(a3+a5)=362.答案3628.在两数1,16之间插入3个数,使它们成等比数列,则中间的数等于.解析设插入的三个数分别为a,b,c,则b2=16,b=4.设其公比为q,b=1q20,b=4.答案49.等比数列an同时满足下列三个条件:a1+a6=11,a3a4=329,三个数a2,a32,a4+依次成等差数列,试求数列an的通项公式.解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=329,所以a1+a6=11,a1a6=329,解得a1=13,a6=323或a1=323,a6=13.当a1=13,a6=323时,q=2,所以an=2n-1,这时a2+a4+49=329,2a32=329,所以a2,a32,a4+成等差数列,故an=2n-1.当a1=323,a6=13时,q=,an=26-n, a2+a4+2a32,不符合题意.故通项公式an=132n-1.10.导学号04994043设an是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.解设数列an的首项为a1,公比为q,b1+b2+b3=3,log2a1+log2a2+log2a3=3,log2(a1a2a3)=3,a1a2a3=8,a2=2.b1b2b3=-3,log2a1log2a2log2a3=-3,log2a1log2a3=-3,log2a2qlog2a2q=-3,即(log2a2-log2q)(log2a2+log2q)=-3,即(1-log2q)(1+log2q)=-3,解得log2q=2.当log2q=2时,q=4,a1=a2q=12,所以an=4n-1=22n-3;当log2q=-2时,q=,a1=a2q=8,所以an=814n-1=25-2n.B组1.已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN*),且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)的值为()A.-5B.-C.5D.解析log3an+1=log3an+1,an+1an=3,数列an是等比数列,公比q=3,log13(a5+a7+a9)=log13(a2q3+a4q3+a6q3)=log13(a2+a4+a6)q3=log13(933)=-5.答案A2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a()A.6B.7C.8D.9解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,an=1.1na.依题意,得1.1na2a,即1.1n2,解得n8.答案C3.已知各项都为正数的等比数列an中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2的最大正整数n的值为()A.3B.4C.5D.6解析由a2a4=4,a1+a2+a3=14可求得a1=8,q=,于是an=812n-1=24-n,从而anan+1an+2=24-n23-n22-n=29-3n.令29-3n,经检验知,最大正整数n的值为4.答案B4.若实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,则a,b,c的值分别为.解析依题意可得2b=a+c,(b+1)2=(a+1)(c+4),a+b+c=15,解得a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1.答案2,5,8或11,5,-15.在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.解析设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12可得q9=3.又an-1anan+1=a13q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.答案146.在公差不为零的等差数列an中,2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.解析2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,又b7=a70,b7=a7=4.b6b8=b72=16.答案167.导学号04994044等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d(d1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求实数a1和d的值;(2)b16是不是an中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解(1)设数列an,bn的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由a4=b4,a10=b10,得a1+3d=a1d3,a1+9d=a1d9.即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.解得d3=1或d3=-2.d1,d3=-2.d=-32.代入原方程中,解得a1=32.故a1=32,d=-32.(2)由(1)得,数列an,bn的通项公式分别为an=(2-n)32,bn=-(-32)n.故b16=-(-32)16=-3232.由(2-n)32=-3232,解得n=34.故b16为an的第34项.8.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由. 解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,则a1=220,a2=220+a1(1-60%)=2201.4=308,a3=220+a2(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得an+1=220+an,an+1-1 1003=25an-1 1003,an-1 1003是以a1-1 1003=-4403为首项,为公比的等比数列,an-1 1003=-440325n-1,-440325n-10,an1 1003=366,an380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.
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