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第3章 空间向量与立体几何对应学生用书P72一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量二、空间向量的数量积由ab|a|b|cosa，b可知，利用该公式可求夹角、距离还可由ab0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由a，b的大小确定三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量 (2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可(1)求两异面直线所成的角可利用公式cosa，b，但务必注意两异面直线所成角的范围是，而两向量之间的夹角的范围是0，故实质上应有cos |cosa，b|.(2)求线面角求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin |cos |.(3)求二面角基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2结合图形求得(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值是_解析：ab32x52，x5.答案：52设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD的形状是_解析：BCD中，()()20，B为锐角，同理，C，D均为锐角，BCD为锐角三角形答案：锐角三角形3已知直线l与平面垂直，直线的一个方向向量为u(1,3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.解析：平面的法向量u(1,3，z)，v与平面平行，uv，uv133(2)z10，z3.答案：34已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为_解析：设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)则解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：(1,1,1)或(1，1，1)5已知A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(x,3，y2)，且A、B、C三点共线，则实数x，y的值分别为_、_.解析：若A、B、C三点共线，则，也共线(1，1,3)，(x2，1，y1)，1.x3，y2.答案：326已知向量p关于基底a，b，c的坐标为(3,2，1)，则p关于基底2a，b，c的坐标是_解析：由已知得p3a2bc，则p(2a)(2)(b)(2).故p关于基底的坐标为.答案：7已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a(1,2，2)，b(2,3，m)，若l1l2，则实数m的值为_解析：l1l2，ab.ab1(2)23(2)m42m0.m2.答案：28已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_解析：(ab)(ab)a2b2(cos2sin21)(sin21cos2)0，(ab)(ab)答案：909已知向量a(cos ，sin ，1)，b(，1,2)，则|2ab|的最大值是_解析：因为2ab(2cos ，2sin 1,0)，所以|2ab|4.答案：410平面的法向量为u(1，2，1)，平面的法向量为v(2,4,2)，则不重合的平面与平面的位置关系为_解析：v2(1，2，1)2u，vu，.答案：平行11已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB ，则二面角ACDB的大小为_解析：如图，取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD，AEBF，EF2，AB.且，为二面角的平面角，由2()2得1333423cos，cos，120.即所求的二面角为120.答案：12012.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，若以，为基底，则_.解析：().答案： 13正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_解析：以D为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，则(0,0,1)B1D平面ACD1，(1,1,1)为平面ACD1的法向量设BB1与平面ACD1所成的角为，则sin ，cos .答案：14已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为_解析：Q在OP上，可设Q(x，x,2x)，则(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时Q.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图，已知ABCDABCD是平行六面体(1)化简，并在图中标出其结果；(2)设M是BD的中点，N是侧面BCCB对角线BC上的分点，设，试求、的值解：(1)取DD的中点G，过点G作DC的平行线GH，使GHDC，连接AH，则.如图所示(2)()().，.16(本小题满分14分)已知空间三点A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解：a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.17(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABCA1B1C1中，ACBC，D是AB的中点，ACBCBB1.(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D.证明：如图所示，以C1点为原点，建立空间直角坐标系，设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，0440，即，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连结DE.由于E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED与BC1不共线，EDBC1，又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.18(本小题满分16分)正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解：(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时.19(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D、E分别为AC、AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)证明：因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD，且CDDED，所以A1C平面BCDE. (2)如图，以C为坐标原点，CB、CD、CA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3，0，2)，BE(1,2,0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.因为(0,1，)所以sin |cosn，|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0，2，2)，(p，2,0)，所以令x2，则yp，z.所以m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直20(山东高考)(本小题满分16分) 如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值解：(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2，则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1,2)设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2)设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1)，所以cosm，n.因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为.
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