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第56讲圆的方程1圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0,4),B(0,2),则圆C的方程是(A)A(x2)2(y3)25 B(x2)2(y3)25C(x2)2(y3)25 D(x2)2(y3)25 线段AB的垂直平分线为y3,由解得所以圆C的方程是(x2)2(y3)25.2点P(4,2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 设圆上任一点为A(x1,y1),则xy4,PA连线中点的坐标为(x,y),则即代入xy4,得(x2)2(y1)21.3圆(x1)2y22关于直线xy10对称的圆的方程是(C)A(x1)2(y2)2 B(x1)2(y2)2C(x1)2(y2)22 D(x1)2(y2)22 圆心(1,0)关于直线xy10的对称点是(1,2),所以圆的方程是(x1)2(y2)22.4(2017湖南长沙二模)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是(A)A1 B2C1 D22 将圆的方程化为(x1)2(y1)21,圆心为(1,1),半径为1.则圆心到直线xy2的距离d,故圆上的点到直线xy2的最大值为d11.5(2016浙江卷)已知aR,方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆,则圆心坐标是(2,4),半径是5. 由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2,解得a2或1.当a2时,方程为4x24y24x8y100,即x2y2x2y0,配方得(x)2(y1)20,b0)始终平分圆: x2y24x2y80的周长,则的最小值为32. 由条件知直线过圆心(2,1),所以2a2b20,即ab1.所以()(ab)332.当且仅当,即a1,b2时,等号成立所以的最小值为32.7(2016广东佛山六校联考)圆C过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,求圆C的方程 设圆C的方程为x2y2DxEyF0.则k,2为x2DxF0的两根,所以k2D,2kF,即D(k2),F2k,又圆C过R(0,1),故1EF0,所以E2k1.故所求圆方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0,圆心坐标为(,)因为圆C在P处的切线斜率为1,所以kCP1,所以k3.所以D1,E5,F6.所以圆的方程为x2y2x5y60.8过点P(1,1)的直线将圆形区域(x,y)|x2y24分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为(A)Axy20 By10Cxy0 Dx3y40 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合题意因为圆心O与P的连线的斜率为1,所以过点P垂直于OP的直线方程为xy20.9(2017天津卷)设抛物线y24x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120,则圆的方程为(x1)2(y)21. 由y24x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x1.由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为1,圆的半径为1,CAO90.又因为FAC120,所以OAF30,所以|OA|,所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.10已知点P(x,y)在圆C:x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值;(2)求x2y22x3的最大值与最小值 (1)圆C:x2y26x6y140整理得(x3)2(y3)24.所以圆心C(3,3),半径r2.设k,即kxy0(x0),则圆心到直线的距离dr,即2,整理得5k218k50,解得k.故的最大值为,最小值为.(2)x2y22x3(x1)2y22,表示点P(x,y)到点A(1,0)的距离的平方加上2,连接AC,交圆C于点B,延长AC,交圆C于D,则圆C上的点到A的距离中,AB最短,为|AC|r23;AD最长,为|AC|r7,故x2y22x3的最大值为72251,最小值为32211.
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