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第六章線性轉換 6 1線性轉換介紹6 2線性轉換的核空間及論域空間6 3線性轉換矩陣6 4轉換矩陣及相似矩陣 6 1 6 1線性轉換介紹 函數 function 函數T映射一個向量空間到另一個向量空間 6 2 像 值域與反像 若向量v在向量空間V中 向量w在向量空間W中使得 則 1 w稱為在T映射下v的像 image 2 在V中所有向量的像的集合稱為T的值域 range 3 在V中所有可以使得的向量v的集合稱為向量w的反像 preimage 6 3 範例1 從R2映射到R2的函數 a 求的像 b 求的反像 解 6 4 線性轉換 lineartransformation 6 5 注意 1 向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或之後做運算均產生相同的結果 2 從一個向量空間映射到自己本身的線性轉換被稱為線性運算子 linearoperator 6 6 範例2 證明T是從R2映射到R2的線性轉換 證明 6 7 故T為線性轉換 6 8 範例3 非線性轉換的函數 6 9 注意 二個關於 線性 的觀念 1 被稱作是線性函數 linearfunction 因為它在圖形上是一條直線 2 不是從向量空間R到R的線性轉換 因為它沒保有向量加法及純量相乘的特性 6 10 零轉換 zerotransformation 相等轉換 identitytransformation 定理6 1 線性轉換的性質 6 11 範例4 線性轉換與基底 令為線性轉換 其使得 解 T為線性轉換 6 12 範例5 矩陣定義的線性轉換 函數被定義為 解 向量相加 純量相乘 6 13 定理6 2 矩陣之線性轉換 令A為一m n矩陣 函數T被定義為 是一從Rn到Rm的線性轉換 注意 6 14 所表示的線性轉換具有將R2中的向量以原點為基準逆時針旋轉 角度的特性 範例7 平面的旋轉 證明矩陣 解 極座標表示法 r v的長度 從正x軸以逆時針計算到v的角度 6 15 r T v 的長度 從正x軸以逆時針計算到T v 的角度 因此 向量T v 和v有相同的長度 除此之外 從正x軸到T v 的角度為 也就是T v 將使v逆時針旋轉 度 6 16 稱作R3上的投影運算子 範例8 R3上的投影 下列矩陣表示的線性轉換 6 17 證明T是線性轉換 範例9 從Mm n到Mn m的線性轉換 解 因此 T是從Mm n到Mn m的線性轉換 6 18 摘要與復習 6 1節之關鍵詞 function 函數domain 論域codomain 對應論域imageofvunderT 在T映射下v的像rangeofT T的值域preimageofw w的反像lineartransformation 線性轉換linearoperator 線性運算子zerotransformation 零轉換identitytransformation 相等轉換 6 19 6 2線性轉換的核空間及值域 線性轉換之核空間 kernel 令為一線性轉換 則向量空間V中滿足的所有向量所構成的集合稱為T的核空間 並記作ker T 範例1 求線性轉換的核空間 解 6 20 範例2 零轉換及相等轉換的核空間 a 零轉換的核空間包含了向量空間V中所有向量 b 相等轉換的核空間只包含了向量空間V中的零向量 範例3 求線性轉換的核空間 解 6 21 範例5 求線性轉換的核空間 解 6 22 6 23 定理6 3 核空間為V的子空間 線性轉換的核空間為V的子空間 證明 注意 T的核空間亦可稱為T的零空間 nullspace 6 24 範例6 求核空間的基底 6 25 解 6 26 定理6 3的推論 線性轉換之值域 range 6 27 定理6 4 T的值域為W的子空間 證明 6 28 注意 定理6 4的推論 6 29 範例7 求線性轉換值域的基底 6 30 解 6 31 線性轉換T V W的秩 rank 線性轉換T V W的核次數 nullity 注意 6 32 定理6 5 秩與核次數的和 證明 6 33 範例8 求線性轉換的秩與核次數 解 6 34 範例9 求線性轉換的秩與核次數 解 6 35 一對一 one to one 6 36 映成 onto 6 37 定理6 6 一對一線性轉換 證明 6 38 範例10 線性轉換的一對一與非一對一 6 39 定理6 7 映成線性轉換 定理6 8 一對一與映成線性轉換 證明 6 40 範例11 解 6 41 同構 isomorphism 定理6 9 同構的空間及維度 證明 6 42 6 43 範例12 同構的向量空間 6 44 摘要與復習 6 2節之關鍵詞 kernelofalineartransformationT 線性轉換T的核空間rangeofalineartransformationT 線性轉換T的值域rankofalineartransformationT 線性轉換T的秩nullityofalineartransformationT 線性轉換T的核次數one to one 一對一onto 映成isomorphism one to oneandonto 同構isomorphicspace 同構的空間 6 45 6 3線性轉換矩陣 以矩陣表示線性轉換的三個理由 易寫易讀比較適用於電腦 線性轉換T R3 R3的二種表示法 6 46 定理6 10 線性轉換的標準矩陣 standardmatrix 6 47 證明 6 48 6 49 範例1 求線性轉換的標準矩陣 解 6 50 注意 檢查 6 51 範例2 求線性轉換的標準矩陣 解 注意 1 從Rn到Rm的零轉換的標準矩陣為m n的零矩陣 2 從Rn到Rn的相等轉換的標準矩陣為n階的單位矩陣In 6 52 T1 Rn Rm與T2 Rm Rp的合成 composition 定理6 11 線性轉換的合成 6 53 證明 注意 6 54 範例3 合成的標準矩陣 解 6 55 6 56 反線性轉換 inverselineartransformation 注意 若T為可逆 則其反轉換是唯一的且記作T 1 6 57 定理6 12 反線性轉換的存在 注意 若T為可逆且其標準矩陣為A 則T 1的標準矩陣為A 1 6 58 範例4 求線性轉換的反轉換 解 6 59 6 60 T相對於基底B與B 的轉換矩陣 T相對於基底B與B 的轉換矩陣 6 61 非標準基底的轉換矩陣 6 62 6 63 範例5 求一個相對於非標準基底的轉換矩陣 解 6 64 範例6 解 檢查 6 65 注意 6 66 摘要與復習 6 3節之關鍵詞 standardmatrixforT T的標準矩陣compositionoflineartransformations 線性轉換的合成inverselineartransformation 反線性轉換matrixofTrelativetothebasesBandB T對應於基底B到B 的矩陣matrixofTrelativetothebasisB T對應於基底B的矩陣 6 67 6 4轉移矩陣及相似性 6 68 兩個從到的方法 6 69 範例1 求線性轉換矩陣 解 6 70 6 71 範例2 求線性轉換矩陣 解 6 72 範例3 線性轉換矩陣 解 6 73 相似矩陣 similarmatrix 對於n階方陣A與A 若存在一可逆矩陣P使得則稱A 相似於A 定理6 13 相似矩陣的性質令A B及C為n階方陣 則下列性質為真 1 A相似於A 2 若A相似於B 則B相似於A 3 若A相似於B且B相似於C 則A相似於C 證明 6 74 範例4 相似矩陣 6 75 範例5 兩個線性轉換矩陣的比較 解 6 76 6 77 注意 對角矩陣在計算上的優點 6 78 摘要與復習 6 4節之關鍵詞 matrixofTrelativetoB T相對於B的矩陣matrixofTrelativetoB T相對於B 的矩陣transitionmatrixfromB toB 從B 到B的轉移矩陣transitionmatrixfromBtoB 從B到B 的轉移矩陣similarmatrix 相似矩陣