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专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法 利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若，则.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 正弦定理： 余弦定理：（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连结，则的最大值为1故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可.解1：如图可得：，在中，有： 例3. 已知向量，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】解2：因为 即例4.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】记M的最大值和最小值分別为Mmax和Mmin.若平面向量a.b.c满足a=b=ab=c (a+2b-2c)=2则（ ）A. a-cmax=3+72 B. a+cmax=3-72C. a-cmin=3+72 D. a+cmin=3-72【答案】A【解析】由已知可得：ab=abcos=2cos=12，=3建立平面直角坐标系，a=OA=2，0，b=OB=1，2，c=OC=x，yca+2b-2c=2可得：x，y4-2x，23-2y=24x-2x2+23y-2y2=2点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2018届北京市城六区高三一模】已知点M在圆C1： (x-1)2+(y-1)2=1上，点在圆C2： (x+1)2+(y+1)2=1上，则下列说法错误的是A. OMON的取值范围为-3-22,0B. |OM+ON|取值范围为0,22C. |OM-ON|的取值范围为22-2,22+2D. 若OM=ON，则实数的取值范围为-3-22,-3+22【答案】B【解析】M在圆C1上，点N在圆C2上，MON90，OMON0，又OM2+1，ON2+1，当OM=2+1，ON=2+1时，OMON取得最小值（2+1）2cos=322，故A正确；设M（1+cos，1+sin），N（1+cos，1+sin），则OM+ON=（cos+cos，sin+sin），|OM+ON|2=2coscos+2sinsin+2=2cos（）+2，0|OM+ON|2，故B错误；故选B例6.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】 【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求例7.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：所以.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.例8.【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量a与b的夹角是56，且a=a+b，则向量a与a+b的夹角是_【答案】120【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，AB=a,AD=b,AC=a+b,DAB=1500,B=300.|a|=|a+b|，B=ACB=300,CAB=1200.所以向量a与a+b的夹角是120. 故填120. 例9.【2018届湖北省高三4月调研】已知向量与的夹角为30，则的最大值为_【答案】【解析】分析：由题意，利用基本不等式和向量的运算，求的，进而可求得的最大值.所以，当且仅当时，等号成立，所以.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决例10.已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是_.【答案】，即答案：【精选精练】1已知正方形ABCD的边长为1，AB=a, BC=b, AC=c,则a+b+c等于（ ）A. 2 B. 3 C. 22 D. 3【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到a+b+c=AB+BC+AC=2AC，即可求解其模详解：因为正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c，则a+b+c=AB+BC+AC=2AC，因为AB=BC=1,ABBC，所以a+b+c=22，故选C点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键2.【2018届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量a=1,-1，b=x,2，且ab，则a+b的值为（ ）A. 2 B. 7 C. 22 D. 10【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若a=b=c=2，且ab=0，a-cb-c0，则a+b-c的取值范围是（ ）A. 0,22+2 B. 0,2C. 22-2,22+2 D. 22-2,2【答案】D【解析】故选：D.4对于任意向量a,b,c，下列说法正确的是（ ）A. |a+b+c|a|-|b|-|c| B. |a+b+c|a|+|b|-|c|C. |a+b+c|a|+|b| D. |a+b+c|a|-|b|【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则a+b+c=a+b+c=a+b-c，同理a+ba-b，所以a+b+ca-b-c，故正确答案为A.5已知向量， 满足： 则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出详解：|=3，|=2，|+|=4，|+|2=|2+|2+2=16，2=3，|2=|2+|22=9+43=10，|=，故选：D6【2018届四川省绵阳市三诊】中， ， ， ，点是内（包括边界）的一动点，且 ，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B因为，所以的最大值为，故，选B.点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.7【2018届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知OAB是边长为1的正三角形，若点P满足OP=2-tOA+tOBtR，则AP的最小值为（ ）A. 3 B. 1 C. 32 D. 34【答案】C【解析】分析：以O为原点，以OB为x轴，建立坐标系，可得AP=OP-OA=12t+12,32-32t，AP =t2-t+1，利用配方法可得AP的最小值.AP=12t+122+32-32t2=t2-t+1=t-122+3432，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则；（）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8【2018届湖南省永州市三模】在ABC中，BAC=600，AB=5，AC=6，D是AB上一点，且ABCD=-5，则|BD|等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 在ABC中，BAC=600，AB=5,AC=6，D是AB是上一点，且ABCD=-5， 如图所示， 设AD=kAB，所以CD=AD-AC=kAB-AC， 所以ABCD=AB(kAB-AC)=kAB2-ABAC=25k-5612=25k-15=-5， 解得k=25，所以BD=(1-25)AB=3，故选C 8.【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知， 是两个非零向量，且， ，则的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】9【2018届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆： ，圆： ， ，选A.10设向量， ， 满足， ， 则的最大值等于（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】A【解析】，且，的夹角为120，设 则 如图所示，则AOB=120；ACB=60AOB+AOC=180A，O，B，C四点共圆， 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=.当OC为直径时， 最大，最大为2故选：A点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.11. a=1，a与b的夹角为60，则a-b的最小值是_,a-bb的最小值是_【答案】 32 32|a-b|2|b|2=1|b|2-1|b|+1=(1|b|-12)2+3434,|a-b|b|32,即a-bb的最小值是32.12.【2018届天津市十二校二模】已知直角梯形ABCD中，AD/BC，BAD=90，ADC=45，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则3PA+BP的最小值为_【答案】522【解析】分析：以DA为x轴，D为原点,过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系，可设Pt,t，可得3PA+BP=4-2t,-2t-1，3PA+BP=4-2t2+-2t-12，利用二次函数配方法可得结果.详解：以DA为x轴，D为原点,过D与DA垂直的直线为y轴，建立坐标系，=8t-342+252252=522，即3PA+BP的最小值为522，故答案为522.
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