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4.2三角函数的图象与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角函数的图象及其变换1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象. 2.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.2016浙江文,3三角函数的图象三角函数的图象识别2015浙江文,52014浙江,4三角函数的图象及其变换三角函数的性质及其应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.2.了解三角函数的周期性.2017浙江,18三角函数的性质及其应用三角函数的单调性2016浙江,5三角函数的性质及其应用三角函数的周期性2015浙江,11三角函数的性质分析解读1.三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等,多以小而活的选择题与填空题的形式出现,有时也会出现以函数性质为主的结合图象的综合题,考查数形结合思想.2.考查形如y=Asin(x+)或通过三角恒等变换化为y=Asin(x+)的函数的图象和性质,其中asin x+bcos x=a2+b2sin(x+)尤其重要(例:2016浙江5题).3.对y=Asin(x+)中A,的考查是重点,图象与性质及平移、伸缩变换也是重点考查对象(例:2014浙江4题).4.预计2020年高考中,本节内容仍是考查热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一三角函数的图象及其变换1.(2018浙江金华十校模拟(4月),5)已知函数f(x)=sinx+3(xR,0)与g(x)=cos(2x+)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cosx+3的图象,只需将y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案A2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,13)如图是函数f(x)=2sin(x+)0,|2的部分图象,已知函数图象经过点P512,2,Q76,0,则=;=.答案2;-考点二三角函数的性质及其应用1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,3)函数f(x)=12-sin2x的最小正周期是() A.2B.C.D.答案C2.(2018浙江镇海中学期中,12)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递增区间是.答案;k-8,k+38(kZ)炼技法【方法集训】方法1三角函数图象变换的解题方法(2018天津文,6,5分)将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数() A.在区间-4,4上单调递增B.在区间-4,0上单调递减C.在区间4,2上单调递增D.在区间2,上单调递减答案A方法2三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法1.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,10)已知函数f(x)=2sin2x+3的图象为C,则:C关于直线x=712对称;C关于点12,0对称;f(x)在-3,12上是增函数;把y=2cos 2x的图象向右平移12个单位长度可以得到图象C.以上结论中正确的有() A.B.C.D.答案D2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,11)函数f(x)=sin2x-4+1的最小正周期为;单调递增区间是;对称轴方程为.答案;k-8,k+38(kZ);x=k2+38(kZ)方法3三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法1.(2018浙江湖州、衢州、丽水质检,18)已知函数f(x)=3sin2x+6-2sin xcos x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x-4,4时,求函数f(x)的最大值和最小值.解析(1)f(x)=3sin2xcos6+cos2xsin 6-sin 2x=32cos 2x+sin 2x=sin2x+3,(6分)因此函数f(x)的最小正周期为.(8分)(2)因为-x,所以-2x+56,(10分)所以-sin2x+31,(12分)因此,当2x+=,即x=12时, f(x)取得最大值1,当2x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值-.(14分)2.(2017浙江绍兴质量调测(3月),18)已知函数f(x)=2sin2x+cos2x-3.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的单调递增区间.解析(1)因为cos 2x=1-2sin2x,所以f(x)=2sin2x+cos2x-3=1-cos 2x+cos 2x+32sin 2x=1+sin2x-6.故f(x)的最小正周期为.(2)由2k-2x-2k+,kZ,得k-xk+,kZ.故f(x)在0,2上的单调递增区间为0,3.方法4由函数图象求解析式的方法(2018浙江嘉兴第一学期高三期末,18,14分)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+4sin2x,x0,2,求g(x)的值域.解析(1)由题图得A=2,最小正周期T=4712-3=,所以=2,(4分)又由2+=+2k(kZ),得=-+2k(kZ),又|0,|.若f58=2, f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,则() A.=,=12B.=,=-1112C.=,=-1124D.=,=724答案A2.(2016课标全国,14,5分)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案233.(2014山东,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点12,3和点23,-2.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象经过点12,3和23,-2,所以3=msin6+ncos6,-2=msin43+ncos43,即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.由题意知g(x)=f(x+)=2sin2x+2+6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2+6=1,因为0,所以=.因此g(x)=2sin2x+2=2cos 2x.由2k-2x2k,kZ,得k-xk,kZ,所以函数y=g(x)的单调递增区间为k-2,k,kZ.考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标全国理,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是() A.B.C.34D.答案A2.(2017课标全国理,6,5分)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=D.f(x)在2,单调递减答案D3.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)-20)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=32,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=32,s的最小值为答案A5.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移00,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=-.数据补全如下表:x+02322x123712561312Asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知 f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-=k,kZ,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0中心对称,令k2+12-=512,kZ,解得=k2-,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值.10.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(-)=2m25-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+ (kZ).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意知,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).(ii)证法一:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.证法二:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即+=-(+);当-5m0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案7.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin2-xcosx-3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4,4上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为x|x2+k,kZ.f(x)=4tan xcos xcosx-3-3=4sin xcosx-3-3=4sin x12cosx+32sinx-3=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.所以, f(x)的最小正周期T=22=.(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ.由-+2k2x-+2k,得-12+kx512+k,kZ.设A=-4,4,B=x|-12+kx512+k,kZ,易知AB=-12,4.所以,当x-4,4时, f(x)在区间-12,4上单调递增,在区间-4,-12上单调递减.8.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin2-xsin x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在6,23上的单调性.解析(1)f(x)=sin2-xsin x-3cos2x=cos xsin x-32(1+cos 2x)=sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期为,最大值为2-32.(2)当x6,23时,02x-,从而当02x-,即x512时, f(x)单调递增,当2x-,即512x23时, f(x)单调递减.综上可知, f(x)在6,512上单调递增;在512,23上单调递减.评析本题考查二倍角公式,辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+),其中,tan=ba等三角变形公式,以及三角函数的图象与性质,属常规基础题.9.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=2sincos-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.解析(1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)=sinx+4-22,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-34x+.当x+=-,即x=-34时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f-34=-1-22.10.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos xsinx+3-3cos2x+34,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-4,4上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x12sinx+32cosx-3cos2x+34=sin xcos x-32cos2x+34=sin 2x-34(1+cos 2x)+34=sin 2x-34cos 2x=sin2x-3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-4,-12上是减函数,在区间-12,4上是增函数,f-4=-, f-12=-, f4=,所以函数f(x)在闭区间-4,4上的最大值为,最小值为-.评析本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知函数f(x)=sin 2x+3cos 2x-m在0,2上有两个不同的零点,则m的取值范围为() A.-3,2)B.-3,3)C.3,2)D.0,2)答案C2.(2019届台州中学第一次模拟,7)将函数y=3sin4x+6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,则所得函数图象的一个对称中心为()A.748,0B.3,0C.712,0D.58,0答案C3.(2019届台州中学第一次模拟,8)如果存在正实数a,使得f(x+a)为奇函数, f(x-a)为偶函数,我们就称函数f(x)为“函数”.现给出下列四个函数:f(x)=sin x;f(x)=cos x;f(x)=sin x-cos x;f(x)=sin 2x+8.其中“函数”的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B4.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),5)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则f(x)=() A.2sin2x-3B.2sin2x+6C.2sin2x-6D.2sin2x+3答案A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)5.(2019届浙江温州九校联考,13)已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x,则f(x)的定义域为, f(x)的最大值为.答案xx2+k,kZ;1+26.(2019届浙江镇海中学期中考试,12)y=sin2x+6的最小正周期为,为了得到函数y=sin2x+6的图象,可以将函数y=cos 2x的图象向左最少平移个单位.答案;7.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,13)已知x0,x0+是函数f(x)=cos2x-6-sin2x(0)的两个相邻的零点,则f12=;f(x)在0,上的递减区间为.答案32;12,7128.(2017浙江温州十校期末联考,13)设f(x)是定义在R上的最小正周期为76的函数,且在-56,3上f(x)=sinx,x-56,0,cosx+a,x0,3,则a=, f-163=.答案-1;-32三、解答题(共40分)9.(2019届台州中学第一次模拟,20)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若112x1112,且方程f(x)=2m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围和这两个根的和.解析(1)显然A=2,函数f(x)的图象过(0,1),f(0)=1,sin =,|,=,由图象知,23- =2,=2.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+6.(2)如图所示,在同一坐标系中画出y=2sin2x+6112x1112和y=2m(mR)的图象,由图可知,当-22m0或32m2时,y=2m与y=2sin2x+6的图象有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,m的取值范围为-1m0或32m1.当-1m0时,两根之和为43;当32m1时,两根之和为.10.(2017浙江金丽衢十二校第二次联考,18)已知直线x=518是函数f(x)=sin(3x+)(-0)的图象的一条对称轴.(1)求;(2)求函数y=f(x)+f6-x,x0,3的值域.解析(1)由题意得3518+=+k,kZ,=-+k,kZ.(-,0),=-,f(x)=sin3x-3.(2)y=f(x)+f6-x=sin3x-3+sin36-x-3=sin3x-3+cos3x+3=2-62sin3x+4.x0,3,3x+4,54,y2-62,3-12.11.(2018浙江台州第一次调考(4月),18)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期,并写出f(x)图象的对称轴方程;(2)若将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求满足g(x0)1的实数x0的集合.解析(1)f(x)=sin xcos x+cos2x=22sin2x+4+,f(x)的最小正周期T=,令2x+=+k,kZ,则x=+k2,kZ,f(x)图象的对称轴方程为x=+k2,kZ.(2)由题得,g(x)=22sin2x-8+4+=22sin 2x+,g(x0)1,即22sin 2x0+1,sin 2x022,+2k2x034+2k,kZ,+kx038+k,kZ,即所求x0的集合为x08+kx038+k,kZ.12.(2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),18)已知函数f(x)=sinx+74+cosx-34.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数y=f(-x)的单调减区间.解析(1)因为sinx+74=cosx-34,所以f(x)=2sinx+74=-2sinx+34.所以函数f(x)的最小正周期是2,最大值是2.(2)f(-x)=2sinx-34,+2kx-34+2k,kZ,所以54+2kx+2k,kZ,所以y=f(-x)的单调递减区间为54+2k,94+2k(kZ).
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