2010届高三数学函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质.ppt

第四节函数y Asin x 的图象和性质 基础知识梳理 1 正弦函数y sinx的图象特征关于原点对称 五点法作简图中五个点通常是平衡点三个 最值点 任何一个都是正弦曲线的对称中心 过且平行于的直线都是它的对称轴 0 0 0 2 0 平衡点 最值点 y轴 基础知识梳理 2 余弦曲线可以由y sinx的图象向平移个单位长度得到 3 图象作法 1 精确作法 用法 2 作简图 用法 左 单位圆 五点作图 基础知识梳理 思考 基础知识梳理 4 y Asin x A 0 0 x 0 在物理中的应用A f T x 振幅 频率 周期 初相 相位 基础知识梳理 5 图象变换 1 相位变换 y sinx y sin x 把y sinx图象上所有的点向 0 或向 0 平行移动个单位长度 2 周期变换 y sin x y sin x 0 把y sin x 图象上各点横坐标变为原来的倍 3 振幅变换 y sin x y Asin x A 0 把y sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的倍 右 A 左 基础知识梳理 4 函数y Asin x x R其中 A 0 0 的图象 可以看成由下面的方法得到 先把正弦曲线上所有的点 当 0时 或 当 0时 平行移动 个单位长度 再把所得各点的横坐标 当 1时 或 当0 1 到原来的倍 纵坐标不变 再把所得各点的纵坐标 当A 1时 或 当0 A 1时 到原来的A倍 横坐标不变 而得到 向左 向右 缩短 伸长 伸长 缩短 三基能力强化 1 2009年高考山东卷改编 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 答案 y 2cos2x 三基能力强化 2 2009年高考江苏卷 函数y Asin x A 为常数 A 0 0 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 答案 3 三基能力强化 三基能力强化 三基能力强化 答案 三基能力强化 三基能力强化 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2 y Asin x 的图象变换最好是先平移再伸缩 每一次变换都是对自变量而言的 要看自变量的变化 而不是看角的变化 本类题要分清两类问题 即是要求用五点作图法作图 还是只在某一区间内作函数的图象 两类问题采用的作图思路不一样 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 利用向量的数量积公式 代入化简 2 列表描点法作图 3 可采用两种图象变换顺序变换 课堂互动讲练 2 列表 课堂互动讲练 描点 并用光滑的曲线连结起来 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 例1其它条件不变 用五法作图法作函数f x 的一个周期内的图象 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解决该类问题的关键是确定解析式中的系数A 和 其中振幅A ymax ymin 即相邻两个最值对应的纵坐标之差的一半 由一个单调区间的长度为T推出 的值 再把给定的特殊点的坐标代入解析式来确定 的值 课堂互动讲练 注意 确定 时 若能求出距离原点最近的右侧图象上升 或下降 的零点的横坐标x0 令 x0 0 或 x0 即可求出 也可以用最高点或最低点的坐标来求 如果对 有范围要求 则可用诱导公式转化 课堂互动讲练 已知函数f x Asin x A 0 0 的部分图象如图所示 1 求函数f x 的解析式 2 如何由函数y 2sinx的图象通过适当的变换得到函数f x 的图象 写出变换过程 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 跟踪训练 2 已知f x Asin x A 0 0 的部分图象如图所示 1 求f x 的解析式 2 函数y g x 的图象与y f x 的图象关于直线x 8对称 求函数y f x g x 的单调增区间 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 三角函数应用题与解三角形中的问题不一样 主要是构造三角函数 并利用三角函数的性质解决相关问题 多与能建立形如y Asin x B 或y Acos x B 等形式的函数问题有关 课堂互动讲练 解题示范 本题满分14分 如图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8m 圆上最低点与地面距离为0 8m 60秒转动一圈 图中OA与地面垂直 以OA为始边 逆时针转动 角到OB 设B点与地面距离是h 1 求h与 间的函数关系式 2 设从OA开始转动 经过t秒后到达OB 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的时间 课堂互动讲练 思路点拨 1 以圆心O为原点建立平面直角坐标系 利用三角函数的定义求出点B的纵坐标 则可求h与 之间的关系 2 把 用t表示出来代入h与 的函数关系式即可 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 面对实际问题时 能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 比如本例题 在读题时把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程就是数学建模的过程 在高考中 将实际问题转化为三角函数有关的问题的常见形式有 求出三角函数的解析式 画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题 课堂互动讲练 3 本题满分14分 2009年高考福建卷 如图 某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道 赛道的前一部分为曲线段OSM 该曲线段为函数y Asin x A 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为S 3 2 赛道的后一部分为折线段MNP 为保证参赛运动员的安全 限定 MNP 120 1 求A 的值和M P两点间的距离 2 应如何设计 才能使折线段赛道MNP最长 自我挑战 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律方法总结 1 由f x Asin x A 0 0 的一段图象 求此函数的表达式 其表达式往往不统一 要根据具体问题具体分析 在这类问题中 A比较容易求 困难的是求 和 而一般由图象可知周期T 由T求出 确定 时 若能求出离原点最近的右侧图象上升 或下降 的零点的横坐标x0 令 x0 0 或 x0 即可求出 有时还可利用一些已知点 最高点和最低点 的坐标确定 和 若对A 符号或对 范围有要求 可用诱导公式变换 使其符合要求 规律方法总结 2 y Asin x 是一种重要的三角函数模型 许多三角函数的值域 单调性问题都要用三角恒等变形转化为这种模型 再进行求解 y Acos x 型的问题与y Asin x 型的处理方法相同 可以转化为y Asin x 型的问题进行解决 3 三角函数图象的变换 重点考查了平移 沿x轴平移 按 左加右减 法则 沿y轴平移 按 上加下减 法则 规律方法总结