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24.2抛物线的几何性质太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点原点开口方向向右向左向上向下抛物线的性质特点：(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.求抛物线的标准方程与几何性质例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是y4；(2)顶点在原点，通过点(，6)，且以坐标轴为轴思路点拨可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程精解详析(1)顶点在原点，准线是y4的抛物线的标准方程可设为x22py(p0)因为准线是y4，所以p8.因此，所求抛物线的标准方程是x216y.(2)若x轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y22px，因为点(，6)在抛物线上，所以(6)22p，解得2p12 ，故所求抛物线的标准方程为y212 x.若y轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为x2y.一点通利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解：双曲线1的右顶点坐标是(2，0)，2，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上所求抛物线的标准方程为y28x，准线方程为x2.2抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解：椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.抛物线几何性质的应用例2已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为4，求此抛物线的标准方程思路点拨设出抛物线的方程，表示出AOB的面积，利用面积列方程求解精解详析由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)，直线l：x，A、B两点坐标为(，m)、(，m)AB2|m|.AOB的面积为4，|2|m|4，m2，抛物线方程为y24x.一点通抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而通过面积求出m.3抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为_解析：据题意知，FPM为等边三角形，PFPMFM，PM抛物线的准线设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，PMFM，得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为4.答案：44(江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由x22py(p0)得焦点F，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A，B，所以AB ，则AFAB ，所以sin ，即，解得p6.答案：65已知A、B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若OAOB，且ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程解：ABO是等腰三角形，A、B关于x轴对称，AB垂直于x轴设直线AB方程为xa，则y22pa.可设A(a，)，B(a，)而焦点F为kFA，kOB.kFAkOB1，1.ap.AB的方程为xp.抛物线中的最值问题例3求抛物线y24x上到焦点F的距离与到点A(3,2)的距离之和最小的点的坐标，并求出这个最小值思路点拨可以设抛物线上的点为P，要求PAPF的最小值，可利用抛物线定义，把PF转化为P到准线的距离求解精解详析设P是抛物线y24x上的任意一点，如图，过P作抛物线的准线l的垂线，垂足为D，连结PF，由抛物线定义可知PFPD.PAPFPAPD.过A作准线l的垂线，交抛物线于P，垂足为Q，显然，直线段AQ的长小于折线段APD的长，因而P点即为所求的AQ与抛物线的交点直线AQ平行于x轴，且过A(3,2)，直线AQ的方程为y2.代入y24x，得x1.P(1,2)与F、A的距离之和最小，最小距离为4.一点通与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，利用几何法求解；另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧6已知抛物线y22x的焦点F，点P是抛物线上的动点，求点P到点A的距离与点P到直线x的距离d之和的最小值解：由于直线x即抛物线的准线，故PBdPBPFBF.当且仅当B、P、F共线时取等号，而BF ，PBd的最小值为.7已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3, 2)或(3，2) (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.1涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条直线与抛物线的两个交点，则ABx1x2p，x1x2，y1y2p2.对应课时跟踪训练(十三) 1抛物线y28x的焦点到准线的距离是_解析：这里p4，焦点(2,0)，准线x2，焦点到准线的距离是4.答案：42抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_解析：抛物线y22x的焦点为F，准线方程为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AFBFx1x25，解得x1x24，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：23过点(0,1)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线有_条解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x0，满足与抛物线y24x只有一个公共点当斜率存在时，设直线方程为ykx1，再与y24x联立整理得k2x2(2k4)x10，当k0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k0时，由0可得k值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条答案：34已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为_解析：设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为(，0)，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，故p6.点P在准线上，到AB的距离为p6，所以PAB的面积为61236.答案：365已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FMMN_.解析：如图所示，过点M作MM垂直于准线y1于点M，则由抛物线的定义知MMFM，所以，由于MMNFOA，则，则MMMN1，即FMMN1.答案：16已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解：法一：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F(，0)，由题设可得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.法二：设抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，准线方程x，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，则35，p4.因此抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m2.7已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程解：设抛物线方程为：x2ay(a0)，由方程组消去y得：2x2axa0，直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，弦长为|AB| .|AB|， ，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线方程为：x24y或x212y.8已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|22y222x2.x0，且在此区间上函数单调递增，故当x0时，|PA|min，故距点A最近的点的坐标为(0,0)(2)法一：设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d.当y01时，dmin.点P的坐标为.法二：设与直线xy30平行的抛物线的切线为xyt0，与y22x联立，消去x，得y22y2t0，由0，得t，此时y1，x，点P坐标为，两平行线间的距离就是点P到直线xy30的最小距离，即dmin.
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