2010届高三数学三角公式.ppt

三角公式 一 两角和与差的三角函数 二 二倍角公式 升幂公式 降次公式 sin sin cos cos sin cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 sin2 2sin cos 三 半角公式 四 万能公式 五 其它公式 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 公式选择 1 从函数的名称考虑 切割化弦 有时也可考虑 弦化切 异名化同名 使函数的名称尽量统一 2 从角的特点考虑 异角化同角 抓住角之间的规律 如互余 互补 和倍关系等等 3 从变换的需要考虑 达到分解 化简或将条件与结论挂钩等目的 4 尽量避开讨论 常用技巧与方法 1 变换常数项 将常数变换成三角函数 2 变角 对命题中的某些角进行分拆 从而使命题中的角尽量统一 3 升幂或降次 运用倍 半角公式进行升幂或降次变换 从而改变三角函数式的结构 4 运用代数变换中的常用方法 因式分解 配方 凑项 添项 换元等等 三角函数式化简目标 1 项数尽可能少 2 三角函数名称尽可能少 3 角尽可能小和少 4 次数尽可能低 5 分母尽可能不含三角式 6 尽可能不带根号 7 能求出值的求出值 典型例题 1 求sin220 cos250 sin20 cos50 的值 思维精析从幂入手 用降幂公式 思维精析从形入手 配成完全平方 思维精析从角入手 化异角为同角 解法3原式 sin2 50 30 cos250 sin 50 30 cos50 sin50 cos30 cos50 sin30 2 cos250 sin50 cos30 cos50 sin30 cos50 思维精析从式入手 构造对偶式 解法4设x sin220 cos250 sin20 cos50 思维精析从三角形入手 构造图形 利用正余弦定理 解法5设 ABC外接圆半径为1 A 20 B 40 y cos220 sin250 cos20 sin50 则x y 2 sin70 x y cos40 cos100 sin30 则C 120 由正余弦定理知 原式 sin220 sin240 sin20 sin40 sin220 sin240 2sin20 sin40 cos120 sin2120 1 求sin220 cos250 sin20 cos50 的值 sin2 sin sin cos cos sin sin 0 cos 0 3 已知sin cos 2sin sin cos sin2 求证 2cos2 cos2 4 已知sin msin 2 其中m 0 2 k k Z 求证 证 sin cos 2sin sin cos 2 4sin2 1 2sin cos 2 1 cos2 sin cos sin2 1 2sin2 2 1 cos2 1 1 cos2 2 1 cos2 2cos2 cos2 证 sin msin 2 tan 另证 sin msin 2 sin msin sin cos cos sin 整理得 1 m sin cos 1 m cos sin m sin cos cos sin 4 已知sin msin 2 其中m 0 2 k k Z 求证 解 由已知k2 3 tan cot 1 k2 4 k tan cot 0 tan cot 2 tan 1 cos 3 sin 解 由已知tan tan tan 2 tan 1 tan 0 tan 0 0 0 又tan 0 2 0 注亦可由tan 1得 2 0 32cos40 64sin220 32 1 2sin220 64sin220 32 cos 0 cos2 0 故由cos2 2cos2 1得 2 f x sin x sin x 2cos 2cos sinx 2cos 2cos sinx 1 解法1 sin22 sin2 cos cos2 1 4sin2 cos2 2sin cos2 2cos2 cos2 2sin2 sin 1 0 cos2 2sin 1 sin 1 0 cos2 0 sin 1 0 2sin 1 0 解法2 sin22 sin2 cos cos2 1 sin2 cos cos2 1 sin22 cos22 2sin cos2 2cos2 cos2 cos2 0 sin cos2 课后练习 解法3由已知sin22 sin2 cos cos2 1 0 可看作关于sin2 的一元二次方程 解这个一元二次方程得 sin2 cos 即2sin cos cos 0 cos cos cos cos sin sin ab ab 4 a b 2 2sin2 tan cot 1 cos2 2cot2 是锐角 成等差数列 解 6sin2 sin cos 2cos2 0 3sin 2cos 2sin cos 0 3sin 2cos 0或2sin cos 0 又由已知得cos 0 2 若y f x 与y g x cos2x a 1 cosx cosx 3的图象在 0 内至少有一个公共点 试求a的取值范围 cos2x cosx 2cos2x cosx 1 解 由f x g x 得2cos2x cosx 1 即a 1 cosx cos2x 2cosx 2 x 0 0 1 cosx 2 故a的取值范围是 2 2 若y f x 与y g x cos2x a 1 cosx cosx 3的图象在 0 内至少有一个公共点 试求a的取值范围 cos2x a 1 cosx cosx 3 1 cosx 2 1