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2019-2020年高三上学期数学一轮复习教案：第3讲 函数概念与表示 课题函数概念与表示（共 2 课）修改与创新课标要 求1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；命题走 向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测xx年高考对本节的考察是：1题型是1个选择和1个填空；2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。教学准备多媒体教学过程要点精讲:1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。5映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。典例解析：1(教材习题改编)设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)等于()A2x1B2x1C2x3 D2x7解析：选Df(x)g(x2)2(x2)32x7.2(xx江西高考)设函数f(x)则f(f(3)()A. B3C. D.解析：选Df(3)，f(f(3)21.3已知集合A，集合B，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xyx解析：选D按照对应关系f：xyx，对A中某些元素(如x8)，B中不存在元素与之对应4已知fx25x，则f(x)_.解析：令t，则x.所以f(t).故f(x)(x0)答案：(x0)5(教材习题改编)若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(1)_.解析：由已知得得即f(x)x24x3.所以f(1)(1)24(1)38.答案：8 1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射 (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数 2定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数ysin x与ycos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同 3求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集函数的基本概念典题导入有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一函数；(2)函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；(4)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_对于(1)，由于函数f(x)的定义域为x|xR，且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x1不是yf(x)定义域的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是(2)(3)(2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数以题试法1已知f：xsin x是集合A(A)到集合B的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A4个B5个C6个 D7个解析：选B当sin x0时sin x0，x可取0，2；当sin x时，sin x，x可取，故集合A中的元素最多有5个求函数的解析式典题导入(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)(1)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22(x2或x2)(2)令1t得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1)；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3)；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2)；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A级T6)以题试法2(1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：(1)法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.分 段 函 数典题导入(xx广州调研考试)设函数f(x)若f(x)4，则x的取值范围是_当x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上可得x2.(，2)(2，)若本例条件不变，试求f(f(2)的值解：f(2)224，f(f(2)f(4)16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围以题试法3.(xx衡水模拟)已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为_解析：由图象知每段为线段设f(x)axb，把(0,0)，和，(2,0)分别代入，解得答案：f(x)函数的定义域和值域1(教材习题改编)若f(x)x22x，x，则f(x)的值域为()ABC D答案：A2函数y的值域为()AR B.C. D.解析：选Dx222，0.0y.3(xx山东高考)函数f(x) 的定义域为()A B(1,0)(0,2C D(1,2解析：选Bx满足即解得1x0或0x2.4(教材习题改编)函数f(x)的定义域为_解析：由得x4且x5.答案：x|x4，且x55(教材习题改编)若有意义，则函数yx23x5的值域是_解析：有意义，x0.又yx23x525，当x0时，ymin5.答案：求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域典题导入(1)(xx大连模拟)求函数f(x)的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是，求f(x)的定义域(1)要使该函数有意义，需要则有解得3x0或2x3，所以所求函数的定义域为(3,0)(2,3)(2)f(2x)的定义域为，即1x1，2x2，故f(x)的定义域为.若本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是，求f(log2x)的定义域解：函数f(x)的定义域是，1x1，1log2x1，x2.故f(log2x)的定义域为.由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x时的值域以题试法1(1)函数y的定义域是_(2)(xx沈阳质检)若函数yf(x)的定义域为，则函数g(x)f(x1)f(x2)的定义域是()ABC D解析：(1)由得所以函数的定义域为(1,2(2)由题意可得解不等式组可得1x4.所以函数g(x)的定义域为答案：(1)(1,2(2)C求已知函数的值域典题导入求下列函数的值域(1)yx22x(x)；(2)y；(3)yx(x0)；(4)f(x)x.(1)(配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在上为增函数，0y15，即函数yx22x(x)的值域为(2)y1，1x21，02.111.即y(1,1函数的值域为(1,1(3)x0，x4，当且仅当x2时等号成立y(，4函数的值域为(，4(4)法一：(换元法)令t，则t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)f(x)的定义域为容易判断f(x)为增函数，所以f(x)f，即函数的值域是.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1)(2)换元法(例(4)(3)基本不等式法(例(3)(4)单调性法(例(4)(5)分离常数法(例(2)求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择以题试法2(1)函数y的值域为_(2)(xx海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2.设函数f(x)(1x)x(2x)，x，则函数f(x)的值域为_解析：(1)y1，因为0，所以11，即函数的值域是y|yR，y1(2)由题意知f(x)当x时，f(x)；当x(1,2时，f(x)(1,6，即当x时，f(x)答案：(1)y|yR，y1(2)与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入(xx合肥模拟)若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范围为_函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa1，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.由题悟法求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法以题试法3(xx烟台模拟)已知函数f(x)1的定义域是(a，bZ)，值域是，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个解析：由011，即12，得0|x|2，满足整数数对的有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)共5个答案：5函数概念，学生理解起来总有一定困难。复习时，画图表示是函数、不是函数的各种情况，以便于学生理解。求函数解析式的几种常见类型，在复习时，应补充例子进行归纳总结。对求定义域问题，在求解了部分题目后，在带领学生进行一下归纳总结。求值域问题，具体类型较多，教师可根据学生的实际情况，补充归纳较常见类型值域的求解。板书设计函数概念与表示1函数的概念及表示2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 例13相等函数 例24区间5映射的概念 例36常用的函数表示法（1）解析法：（2）列表法：（3）图象法：7分段函数教学反思函数的相关概念是学习基本初等函数的及导数知识的基础，复习时要细化，不能很快带过。求值域与最值是实际应用中经常出现的题型，但学生在求值域时，往往存在不少的困难。求值域在后面内容中还会涉及，在遇到此类问题时，还应不断总结，使学生尽可能较好地把握值域与最值的求解。