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两条直线的位置关系一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知直线l1：x+ay+6=0和l2：(a-2)x+3y+2a=0，则l1/l2的充要条件是( )A. a=-1 B. a=3 C. a=-1或a=3 D. a=12（正确答案）A解：根据题意，若l1/l2，则有13=a(a-2)，解可得a=-1或3，反之可得，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，且l1与l2不重合，则l1/l2，当a=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，l1/l2a=-1，反之，a=-1l1/l2，故l1/l2a=-1，故选：A首先由两直线平行可得13=a(a-2)，解可得a=-1或3，分别验证可得a=-1时，则l1/l2，即可得l1/l2a=-1；反之将a=-1代入直线的方程，可得l1/l2，即有a=-1l1/l2；综合可得l1/l2a=-1，即可得答案本题考查直线平行的判定方法，利用解析几何的方法判断时，要注意验证两直线是否重合2. 已知直线l1：x+2ay-1=0，与l2：(2a-1)x-ay-1=0平行，则a的值是( )A. 0或1 B. 1或14 C. 0或14 D. 14（正确答案）C解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=-1，显然两直线是平行的当a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由2a-1a=-12a-1-1，解得：a=14综上，a=0或14，故选：C先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a0时，两直线的斜率都存在，由2a-1a=-12a-1-1，解得a的值本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验3. 直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是( )A. (2,0) B. (2,1) C. (0,2) D. (1,2)（正确答案）C解：联立x+2y-4=02x-y+2=0，解得x=0，y=2，直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0,2)故选：C将二直线的方程联立解出即可正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键4. 光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=ax+2射出，则有( )A. a=13，b=6 B. a=-13，b=-6C. a=3，b=-16 D. a=-3，b=16（正确答案）B解：在直线y=-3x+b上任意取一点A(1,b-3)，则点A关于直线x+y=0的对称点B(-b+3,-1)在直线y=ax+2上，故有-1=a(-b+3)+2，即-1=-ab+3a+2，ab=3a+3，结合所给的选项，故选：B在直线y=-3x+b上任意取一点A(1,b-3)，则根据点A关于直线x+y=0的对称点B(-b+3,-1)在直线y=ax+2上，结合选项可得a、b的值本题主要考查一条直线关于另一条直线对称的性质，反射定理，属于基础题5. 设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是( )A. 5,25 B. 10,25 C. 10,45 D. 25,45（正确答案）B解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0)，动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0，经过点定点B(1,3)，动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1，始终垂直，P又是两条直线的交点，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|=10sin，|PB|=10cos，由|PA|0且|PB|0，可得0,2 |PA|+|PB|=10(sin+cos)=25sin(+4)，0,2，+44,34，sin(+4)22,1，25sin(+4)10,25，故选：B可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角换元后，由三角函数的知识可得本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题6. 已知b0，直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直，则ab的最小值等于( )A. 1 B. 2 C. 22 D. 23（正确答案）B解：b0，两条直线的斜率存在，因为直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直，所以(b2+1)-ab2=0，ab=b+1b2 故选B由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值本题考查两条直线垂直的判定，考查计算推理能力，是基础题7. 与直线L1：mx-m2y=1垂直于点P(2,1)的直线L2的方程为( )A. x+y-1=0 B. x-y-3=0 C. x-y-1=0 D. x+y-3=0（正确答案）D解：点P(2,1)代入直线L1：mx-m2y=1，可得m=1，所以直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为-1，故可知方程为x+y-3=0，故选D先求m=1，从而得到直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为-1，故可求本题主要考查两直线垂直，斜率互为负倒数，属于基础题8. 已知倾斜角为的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则sin2的值为( )A. 35 B. 45 C. 15 D. -15（正确答案）B解：直线l与直线x+2y-3=0垂直，kl=-1-12=2tan=2sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45故选：B直线l与直线x+2y-3=0垂直，可得tan=2.再利用倍角公式与同角三角函数基本关系式即可得出本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、倍角公式与同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件（正确答案）B解：当m=12时，直线(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53，直线(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35，满足k1k2=-1，“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件，而当(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0得：m=12或m=-2“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：B判断充分性只要将“m=12”代入各直线方程，看是否满足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，判断必要性看(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0的根是否只有12本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定10. 如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( )A. 1 B. -13 C. -23 D. -2（正确答案）D解：直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，斜率之积等于-1，a-21-1=-1，a=-2，故选D利用两直线垂直，斜率之积等于-1，列方程解出参数a的值本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于-1，用待定系数法求参数a11. 已知直线l1：xsin+y-1=0，直线l2：x-3ycos+1=0，若l1l2，则sin2=( )A. 23 B. 35 C. -35 D. 35（正确答案）D解：因为l1l2，所以sin-3cos=0，所以tan=3，所以sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=35故选：D根据直线的垂直，即可求出tan=3，再根据二倍角公式即可求出本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，属于基础题12. 若直线l1：x-3y+2=0与直线l2：mx-y+b=0关于x轴对称，则m+b=( )A. 13 B. -1 C. -13 D. 1（正确答案）B解：直线l1：x-3y+2=0与直线l2：mx-y+b=0关于x轴对称，可得：m=-13，y=0时，x=-2，代入mx-y+b=0，所以b=-23，则m+b=-1故选：B判断对称轴的斜率是相反数，经过x轴上相同点，求解即可本题考查直线的简单性质，直线的对称性的应用，考查计算能力二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为_（正确答案）(1,3)解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30=33，由点斜式求得它的方程为y-0=33(x+2)，即3x-3y+23=0直线l2过的斜率等于-133=-3，由点斜式求得它的方程为y-0=-3(x-2)，即3x+y-23=0由3x-3y+23=03x+y-23=0，解得 x=1y=3，故直线l1与直线l2的交点坐标为(1,3)，故答案为(1,3)用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题14. 设a0，b0，若关于x，y的方程组ax+y=1x+by=1无解，则a+b的取值范围为_ （正确答案）(2,+)解：关于x，y的方程组ax+y=1x+by=1无解，直线ax+y=1与x+by=1平行，a0，b0，a1=1b11，即a1，b1，且ab=1，则b=1a，则a+b=a+1a，则设f(a)=a+1a，(a0且a1)，则函数的导数f(a)=1-1a2=a2-1a2，当0a1时，f(a)=a2-1a2f(1)=2，当a1时，f(a)=a2-1a20，此时函数为增函数，f(a)f(1)=2，综上f(a)2，即a+b的取值范围是(2,+)，故答案为：(2,+)根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键15. 若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称，则l的方程是_（正确答案）x-2y+2=0解：由x+y-4=02x-y-2=0，得y=2x=2，即直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0)，设A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b)，则满足ba-1=1a+12+b2-4=0得a+b-7=0a-b-1=0得b=3a=4，即对称点(4,3) 则l的方程为y-23-2=x-24-2，整理得x-2y+2=0，故答案为：x-2y+2=0先求出直线的交点坐标，然后利用点关于直线的对称性求出一点的对称点，利用两点式方程进行求解即可本题主要考查直线方程求解，利用点的对称性是解决本题的关键16. 已知两点A(-m,0)，B(m,0)(m0)，如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得APB=90，则m的取值范围是_（正确答案）5,+)解：P在直线3x+4y+25=0上，设点P(x,-3x-254)，AP=(x+m,-3x-254)，BP=(x-m,-3x-254)；又APB=90，APBP=(x+m)(x-m)+(-3x-254)2=0，即25x2+150x+625-16m2=0；0，即1502-425(625-16m2)0，解得m5，或m-5，又m0，m的取值范围是5,+)故答案为：5,+)根据P在直线3x+4y+25=0上，设出点P的坐标，写出向量AP、BP；利用APBP=0得出方程，再由0求出m的取值范围本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知函数f(x)=mxlnx，曲线y=f(x)在点(e2,f(e2)处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数)(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；(2)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f(x)klnx+2x恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由（正确答案）解：(1)f(x)=m(lnx-1)(lnx)2，曲线y=f(x)在点(e2,f(e2)处的切线与直线2x+y=0垂直，f(e2)=m4=12，解得m=2，f(x)=2xlnx，f(x)=2(lnx-1)(lnx)2，令解得：0x1或1xklnx+2x恒成立，即2xlnxklnx+2xklnx2xlnx-2x，当x(0,1)时，lnx2x-2xlnx恒成立，令g(x)=2x-2xlnx，则g(x)=2x-lnx-2x，再令h(x)=2x-lnx-2，则h(x)=x-1xh(1)=0，故g(x)=h(x)x0，所以g(x)在(0,1)内递增，g(x)0，则k，所以h(x)在(1,+)内递增，所以当x(1,+)时，h(x)h(1)=0，故g(x)=h(x)x0，所以g(x)在(1,+)内递增，g(x)g(1)=2k2； 综合可得：k=2(1)令f(e2)=12解出m，得出f(x)的解析式，令f(x)2x-2xlnx(0x1)或k1)，分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围本题考查了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，函数恒成立问题，属于中档题18. 已知函数f(x)=alnx-1x，aR()若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；()求函数f(x)的单调区间；()当a=1，且x2时，证明：f(x-1)2x-5（正确答案）解：()函数f(x)的定义域为x|x0，f(x)=ax+1x2又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+2y=0垂直，所以，即a=1()由于f(x)=ax+1x2当a0时，对于x(0,+)，有 0/在定义域上恒成立，即f(x)在(0,+)上是增函数当a，f(x)单调递增；当x(-1a,+)时，f(x)单调递减()当a=1时，f(x-1)=ln(x-1)-1x-1x2,+)令g(x)=ln(x-1)-1x-1-2x+5g(x)=1x-1+1(x-1)2-2=-(2x-1)(x-2)(x-1)2当x2时，g(x)0，g(x)在(2,+)单调递减又g(2)=0，所以g(x)在(2,+)恒为负所以当x2,+)时，g(x)0即ln(x-1)-1x-1-2x+50故当a=1，且x2时，f(x-1)2x-5成立()导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数()导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间()用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间；用导数求最值，证明不等式19. 已知ABC中，点A(3,-1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，B的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程（正确答案）解：设B(c,d)，B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上所以d=14(c+10) 即：B(c,14(c+10) 所以AB中点(12(c+3),18(c+6) AB的中点在中线6x+10y-59=0上所以3(c+3)+54(c+6)-59=0 解得c=10 所以B(10,5) 所以AB斜率KAB=67 kBD-kBC1+kBDkBC=kAB-kBD1+kABkBD 14-kBC1+14kBC=67-141+314 解得kBc=-29 所以BC方程(点斜式)：y-5=-29(x-10)，即2x+9y-65=0设B(c,d)B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上，AB的中点在中线6x+10y-59=0上，求出B的坐标，利用解答平分线方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程本题是中档题，充分利用中边所在直线方程，角的平分线方程，到角公式，求解所求直线的斜率，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，本题的解法比较多，但是都比较复杂，考查学生的耐心和毅力
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