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2.2.2间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点一间接证明思考阅读下列证明过程，若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，a2b2为偶数，a2b2c2，这与已知矛盾，a，b，c不可能都是奇数请问上述证法是直接证明吗？为什么？答案不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发梳理间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法间接证明还有同一法、枚举法等知识点二反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么？答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)(2)反证法证明命题的步骤反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立1反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，4bac2.a，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故，不成等差数列类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理，1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q跟踪训练2已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d都不是负数，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0，acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0，a(c1)c(a1)11，即acbd1，与acbd1相矛盾，假设不成立，a，b，c，d中至少有一个是负数类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x3有且只有一个根证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则3,3，两式相除得1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()b”的反面是“ay或xb，那么两个数列中序号与数值均相同的项有_个答案0解析假设存在序号和数值均相等的项，即存在n，使得anbn.但若ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n，使得anbn.6若a，b，c，d都是有理数，都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_考点反证法及应用题点反证法的应用答案ab，cd解析假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.7用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设_答案xa或xb8设a，b，c都是正实数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于0”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析PQR0有两种情况，P，Q，R同时大于0或P，Q，R中有两项都小于0，第三项大于0.若Pabc0，Qbca0，则abc，bca，则b0.这与abc0矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求证：方程f(x)0没有负数根证明假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，且，又01，01，解得x02，这与x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根三、探究与拓展14若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_答案(，21，)解析若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a2或a1.15设an是公比为q的等比数列(1)推导数列an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列考点反证法及应用题点反证法的应用(1)解设数列an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列
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