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第4课时直线与椭圆的位置关系(三)题型一定点问题例1设椭圆E：1(ab0)的离心率为e，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标考点椭圆中的定值、定点问题题点椭圆中的定点问题解(1)由e2，可得a22b2，椭圆方程为1，代入点可得b22，a24，故椭圆E的方程为1.(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.因为M，N与A均不重合，所以t2，所以t，直线l的方程是xmy，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.反思感悟求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为ykxb，则直线ykxb恒过点(0，b)，若直线方程为yk(xa)，则直线恒过点(a,0)跟踪训练1已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由考点题点解(1)由椭圆C的短轴长为2，得b，又由e，得a24，椭圆C的标准方程为1.(2)设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x2y4.易知A(2,0)，直线PA的方程为y(x2)，M，直线QA的方程为y(x2)，N.可得MN的中点为，根据两点间距离公式可得|MN|，以MN为直径的圆的方程为x222，即x2y2y0，又x42y，以MN为直径的圆的方程为x2y2y20，令y0，则x220，解得x，以MN为直径的圆过定点(，0)和(，0)题型二定值问题例2已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值考点椭圆中的定值、定点问题题点椭圆中的定值问题(1)解由题意得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y0b0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值(1)解在F1MF2中，由|MF1|MF2|sin60，得|MF1|MF2|.由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos60(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos60)，解得|MF1|MF2|4.从而2a|MF1|MF2|4，即a2.由|F1F2|4得c2，从而b2，故椭圆C的方程为1.(2)证明当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k0，则其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.56k232k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.从而k1k22k(k4)4.当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1k24.综上，k1k2为定值题型三存在性问题例3已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.反思感悟解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法跟踪训练3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由考点题点解(1)椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，椭圆C的方程为x21.(2)存在将ykx代入椭圆方程，可得(4k2)x22kx10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，x1x2，x1x2.由题意知OAOB，则x1x2y1y20，又y1kx1，y2kx2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)30，(1k2) k30，k.1已知椭圆C：1(ab0)经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由考点题点解(1)根据题意，得y21.(2)当MN的斜率存在时，设MN的方程为ykxm，由得(12k2)x24kmx2m220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则即所以kMAkNA.所以(2k21)x1x2(2km)(x1x2)2m220，即m2km0m0或mk(舍去)所以直线MN：ykx过定点(0,0)当MN斜率不存在时，M，N为短轴两端点，显然也符合题意，所以直线MN恒过定点(0,0)2.如图，已知椭圆两焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点(1)求P点坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值考点题点(1)解设椭圆方程为1，由题意可得a2，b，c，所以椭圆方程为1，则F1(0，)，F2(0，)设P(x0，y0)(x00，y00)，则(x0，y0)，(x0，y0)，x(2y)1，点P(x0，y0)在曲线上，则1.x，从而(2y)1，得y0，则点P的坐标为(1，)(2)证明由(1)知PF1x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k0)，则PB的直线方程为yk(x1)，由得(2k2)x22k(k)x(k)240，设B(xB，yB)，则xB1，同理可得xA，则xAxB，yAyBk(xA1)k(xB1)，所以直线AB的斜率kAB为定值3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题(1)解由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB，得x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为，综上，原点O到直线AB的距离为定值.4中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点(1)求椭圆的标准方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0a0，n0，mn)因为椭圆过M，N两点，所以所以椭圆方程为1.(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，所以|AP|2(xa)2y2.又因为1，所以y24，所以|AP|2(xa)2424a2.因为|x|3,0a3，若a3，即当03，即a3，当x3时，|AP|2取得最小值，为(3a)2，依题意(3a)21，解得a4或a2，因为4，2，所以a2.此时P点的坐标是(3,0)，故当a2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)
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