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2.3.2方差与标准差内容要求1.会求样本标准差、方差(重点)；2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法(难点)；3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题.(重点)知识点一标准差、方差、极差1.极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差.2.标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.假设样本数据是x1，x2，xn，表示这组数据的平均数.xi到的距离是|xi|(i1,2，n)，则用如下公式来计算标准差：s (2)计算标准差的步骤求样本数据的平均数；求每个样本数据与样本平均数的差xi (i1,2，n)；求(xi)2(i1,2，n)；求s2(x1)2(x2)2(xn)2；求s，即为标准差.3.方差标准差的平方s2叫做方差.s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中，xi(i1,2，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)1.方差越小，表示波动越大，越不稳定.()2.求平均数是求方差、标准差的前提.()3.平均数反映了总体的平均水平.()答案1.2.3.题型一极差【例1】2016年5月31日A，B两地的气温变化如图所示.(1)这一天A，B两地的平均气温分别是多少？(2)A地这一天气温的极差是多少？B地呢？(3)A，B两地气候各有什么特点？解(1)从2016年5月31日，A地的气温变化图可读取数据：18 ，17.5 ，17 ，16 ，16.5 ，18 ，19 ，20.5 ，22 ，23 ，23.5 ，24 ，25 ，25.5 ，24.5 ，23 ，22 ，20.5 ，20 ，19.5 ，19.5 ，19 ，18.5 ，18 ，所以A地平均气温为A20(22.5343.5210.5233.5455.54.5320.500.50.511.52)201020.4()同理可得B地的平均气温为B21.4().(2)A地这一天的最高气温是25.5 ，最低气温是16 ，极差是25.5169.5().B地这一天的最高气温是24 ，最低气温是18 ，极差是24 18 6 .(3)A，B两地气温的特点：A地早晨和深夜较凉，而中午比较热，昼夜温差较大；B地一天气温相差不大，而且比较平缓.规律方法极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.【训练1】以下四个叙述：极差与方差都反映了数据的集中程度；方差是没有单位的统计量；标准差比较小时，数据比较分散；只有两个数据时，极差是标准差的2倍.其中正确的是_（填序号）.解析只有两个数据时，极差等于|x2x1|，标准差等于|x2x1|.故正确.由定义可知正确，错误.答案题型二方差与标准差的计算【例2】求一组数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的方差和标准差.解可用基本方差公式，也可用方差的简化公式：s2(xxxn2).其中x1x1a，x2x2a，xnxna，a是接近原数据平均数的一个常数.法一(74628259)7，s2(77)2(67)2(77)21.2，s.法二同法一，求得7，s2(72628272)10721.2，s.法三将各数据减去7，得一组新数据：0，1,1,1，2，2,0,0，1,0，则0.s202(1)2120210021.2，s.规律方法求一组数据的方差可以简记为“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.在计算方差的过程中，根据所给数据的特点选用不同的方法，使计算更加简便，同时要理解各公式中各个量的含义.【训练2】求数据0,1,3,4,7的方差.解先求出平均数，再用方差公式求出方差.数据0,1,3,4,7的平均数为(01347)3，s2(03)2(13)2(33)2(43)2(7-3)2(940116)6.数据0,1,3,4,7的方差为6.探究1数据稳定性比较【例31】甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差和标准差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？(4)估计两名战士射击环数落在区间(s，s)内的百分比是多少.解(1)甲(86786591047)7(环)，乙(6778678795)7(环).(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2，得s3(环2)，s1.2(环2).故s甲1.7(环)，s乙1.1(环).(3)甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当.又ss，说明甲战士射击情况波动大.因此，乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.(4)对于甲，样本数据落在(s，s)，即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.对于乙，样本数据落在(s，s)，即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.探究2频率分布直方图中平均数与方差的计算【例32】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s2(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定探究3频率分布直方图与数字特征综合问题【例33】为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为_(用“”连结).解析由直方图容易求得三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知甲调查的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙调查的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1s2s3，故填s1s2s3.答案s1s2s3探究4数字特征与统计图的综合【例34】为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图与下表所示.(单位：mm)平均数方差完全符合要求个数A200.0262B20s5根据测试得到有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为_的成绩好些.(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些.(3)考虑图中折线走势及竞赛中测试零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.解(1)B(2)s5(2020)23(19.920)2(20.120)2(20.220)20.008，且s0.026.在平均数相同的情况下，B的波动性小，B的成绩好些.(3)从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，可选派A去参赛.规律方法1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离.2.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.课堂达标1.若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为_.解析样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则方差s264，而数据2x11,2x21，2x101的方差22s22264，所以其标准差为16.答案162.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_.解析由题知甲的平均数为90，乙的平均数为90，甲的方差为s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24.乙的方差为s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.故乙运动员成绩的方差较小，为2.答案23.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：甲47109568688乙7868678759试问10次射靶的情况较稳定的是_.解析甲7.1，乙7.1.s(47.1)2(77.1)2(87.1)23.09，s(77.1)2(87.1)2(97.1)21.29.ss，乙较稳定.答案乙4. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场的9个分数有一个数据模糊，无法辨认，以x表示，9个得分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，则7个剩余分数的方差为_.解析由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩的数据是87,90,90,91,91,94,90x.这组数据的平均数是91，x4.这组数据的方差是(16110099).答案5.某车间20名工人年龄数据如表所示：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差.(2)求这20名工人年龄的方差.解(1)这20名工人年龄的众数为30，这20名工人年龄的极差为401921. (2)这20名工人年龄的平均数为：(1928329330531432340)2030，所以这20名工人年龄的方差为：s2(3019)23(3028)23(3029)25(3030)24(3031)23(3032)2(3040)212.6.课堂小结1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中，总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.基础过关1.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_.解析5个数的平均数5.1，所以它们的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.答案0.12. 某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_.解析平均得分(89101315)11，方差s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案6.83.在某项体育比赛中七位裁判为一名选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为_，_.解析去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为92，方差为s2(9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)2(44141)2.8.答案922.84.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个方差为_.解析由题意知甲(67787)7，乙(67679)7，s(67)2(77)2，s(67)2(97)2.较小的一个方差为.答案5.甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩分别为甲：68，69，70，71，72；乙：63，68，69，69，71，则平均分数较高的是_，成绩较为稳定的是_.解析甲70，乙68.s(6870)2(6970)2(7070)2(7170)2(7270)22，同理得s7.2.因为ss，故甲的平均分数高于乙，且甲的成绩比乙稳定.答案甲甲6. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据分别为甲：158，162，163，168，168，170，171，179，179，182；乙：159，162，165，168，170，173，176，178，178，181.(1)计算甲班的样本方差；(2)计算乙班的样本方差，并判断哪个班的身高数据波动较小.解(1)甲170.甲班的样本方差s(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.2.(2)同(1)中的算法，求得乙171，s(1229262321222527272102)49.8.s0.5.又前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5.所以2x2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨13.(选做题)若甲、乙在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示.(1)请填写下表：平均数中位数方差极差命中9环(含9环)以上次数甲乙(2)根据你所学的统计学知识，从不同的角度对这次测试结果进行分析.解(1)平均数中位数方差极差命中9环(含9环)以上次数甲771.241乙77.55.483(2)甲、乙平均数相同，ss，甲的成绩比乙稳定.甲、乙平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，故乙的成绩比甲好些.甲的成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有出现比甲少的情况，所以乙比甲更有潜力.
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