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2.4圆锥曲线的应用椭圆、双曲线的应用 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6 371 km如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点求卫星运行的轨道方程(结果精确到1 km)自主解答设椭圆方程为1(ab0)由题意知|AC|439，|BD|2 384，|F2C|F2D|6 371.ac|OA|OF2|F2A|4396 3716 810，ac|OB|OF2|F2B|2 3846 3718 755，解得a7 782.5，c972.5，所以b7 722.因此，卫星运行的轨道方程是1.(1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点”(2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，如图所示，PA100 m，PB150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系设M是分界线上的点，则有|MA|PA|MB|PB|，于是有|MA|MB|PB|PA|15010050.这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，在APB中，由余弦定理得：|AB|2|AP|2|PB|22|AP|PB|cos 6017 500，从而a25，c24 375，b2c2a23 750，所以所求分界线方程为：1(x25)，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P点，右侧的土沿BP运到P点最省工抛物线的应用 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值自主解答以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x22py(p0)，则点B的坐标为，由点B在抛物线上，得22p，所以p，所以抛物线方程为x2ay.将点(0.8，y0)代入抛物线方程，得y0.欲使卡车通过隧道，应有|y0|3.解得a12.21，或a0.21(舍去)a取整数，a的最小值为13.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意知，点A(4，5)在抛物线x22py(p0)上，162p(5)，2p.抛物线方程为x2y(4x4)设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B，B时，船开始不能通航，设B(2，y)，由22y，得y，水面与抛物线拱顶相距|y|2(m)故水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆1(ab0)与x轴的交点为A1，A2，P是椭圆上任一点，F是它的一个焦点，证明：以线段PF为直径的圆与以线段A1A2为直径的圆相切巧思判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若M为PF的中点，则圆心距为|OM|.妙解由椭圆方程1(ab0)知，以线段A1A2为直径的圆为x2y2a2.设F1是椭圆的另外一个焦点，点M是线段PF的中点，则|MO|PF1|(2a|PF|)a|PF|.即以线段A1A2为直径的圆(圆心为O)与以线段PF为直径的圆(圆心为M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切1若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A(3，)B(，2)C(，2)(3，)D(3，)(6，2)解析：要满足方程1表示焦点在x轴上的椭圆需有解得6a3.答案：D2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1B.C2D3解析：因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交于A，B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.答案：C3过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若PF1Q，则双曲线的离心率e等于()A.1B.C.1D.2解析：PF1F2是等腰直角三角形，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c，|PF1|PF2|2a,2c2c2a，e1.答案：C4焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为_解析：|F1F2|2c8，e，a5，|MF1|MF2|2a10，|MF1|2，|MF2|8.又O，N分别为F1F2，MF1的中点，ON是F1F2M的中位线，|ON|MF2|4.答案：45设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且AF13AF2，则该双曲线的离心率为_解析：由AF13AF2，设AF2m，AF13m(m0)，则2aAF1AF22m,2cm，离心率e.答案：6某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，由题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25，即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB，AB43.84，即最长支柱的长为3.84米一、选择题1若直线kxy10(kR)与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是()A(0,1)B(0,5)C1,5)(5，)D1，)解析：直线kxy10恒过点(0,1)，由题意知，该点在椭圆内或椭圆上，故有解得m1且m5，故选C.答案：C2若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0)B.C(1，)D(2,2)解析：设M(x0，y0)，则|MF|可以看作是点M到准线的距离，当点M移动到和点A的纵坐标相等时，|MF|MA|取得最小值，即y02，代入y22x，得x02，即M(2,2)答案：D3椭圆1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知0，则F1PF2的面积为()A9B12C10D8解析：0，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a.又a5，b3，c4.2，得2|PF1|PF2|10264，|PF1|PF2|18.F1PF2的面积为S|PF1|PF2|9.答案：A4已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，M是此双曲线的一点，且0，|2，则该双曲线的方程是()A.y21Bx21C.1D.1解析：由已知MF1MF2，|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|F1F2|2，即(|MF1|MF2|)2(2)2436.|MF1|MF2|6，a3，c，b1，双曲线方程是y21.答案：A二、填空题5若曲线1表示双曲线，则k的取值范围是_解析：由题意知(4k)(1k)0，k1或k0时，1，25，20；当0)上的一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为_解析：由题意，得15，p8，m4，M(1,4)，又A(，0)，直线AM的斜率为kAM，a.答案：三、解答题9.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所示一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，卡车与箱共高4.5米，此时，卡车能否通过此隧道，请说明理由解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设抛物线的标准方程为x22py(p0)，依题意知点A(3，3)在抛物线上，322p(3)，解得p，抛物线的标准方程为x23y.又集装箱宽3米，当x1.5时，y0.75，即离隧道中心线1.5米处，隧道面离地面的距离为50.754.25米，而箱顶离地面的高度为4.5米，故此时卡车不能通过此隧道10.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BCF1F2，F1B2.8 cm，F1F24.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为1(ab0)在RtBF1F2中，F2B.由椭圆的定义，知F1BF2B2a，所以a(F1BF2B)(2.8)4.1，b3.4，所以，所求的椭圆方程为1.
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