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第2讲解三角形1.(2018全国卷,文7)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB等于(A)(A)42(B)30(C)29(D)25解析:因为cos C2=55,所以cos C=2cos2C2-1=2552-1=-35.在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=52+12-251-35=32,所以AB=32=42.故选A.2.(2018全国卷,文11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为a2+b2-c24,则C等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)6解析:因为S=12absin C=a2+b2-c24=2abcosC4=12abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1.因为C(0,),所以C=4.故选C.3.(2017全国卷,文11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C等于(B)(A)12(B)6(C)4(D)3解析:ABC中,A+B+C=,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C).因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,因为sin C0,所以sin A+cos A=0.所以tan A=-1,又因为A(0,),所以A=34,由正弦定理得asinA=csinC,所以2sin 34=2sinC,sin C=12,C为锐角,所以C=6,故选B.4.(2017全国卷,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.解析:因为2bcos B=acos C+ccos A,所以由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为sin B0,所以cos B=12,B(0,),所以B=3.答案:35.(2016全国卷,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.解析:由题sin A=35,sin C=1213,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=35513+451213=6365.则由asinA=bsinB得b=asinBsinA=636535=2113.答案:21136.(2014全国卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN= m.解析:RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AB=100 m,AC=1002 m,因为MAC=75,ACM=60,所以AMC=180-75-60=45,MAC中,根据正弦定理ACsinAMC=AMsinMCA,所以1002sin45=AMsin60,所以AM=10023222=1003(m).RtMNA中,MAN=60,sin 60=MNAM,所以MN=AMsin 60=100332=150(m).答案:1507.(2014全国卷,文17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由得cos C=12,故C=60,BD=7.(2)四边形ABCD的面积S=12ABDAsin A+12BCCDsin C=1212+1232sin 60=23.1.考查角度考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.(对应学生用书第2022页) 正余弦定理、三角形面积公式的应用考向1解一般三角形【例1】 (1)(2018湖南省永州市一模)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2sin B=sin A+sin C,cos B=35,且SABC=6,则b等于()(A)2(B)3(C)4(D)5(2)(2018超级全能生全国联考)已知ABC中,AC=42,BC=4,ABC=4.求角A和ABC的面积;若CD为AB上的中线,求CD2.(1)解析:因为2sin B=sin A+sin C,所以2b=a+c,因为cos B=35,所以a2+c2-b22ac=35,即(a+c)2-2ac-b22ac=3b2-2ac2ac=3b22ac-1=35,所以ac=1516b2,所以SABC=12acsin B=121516b245=6,所以b2=16,所以b=4.故选C.(2)解:由4sinBAC=42sin4,得sinBAC=12,又BCAC,则BAC4,解得BAC=6.所以ACB=712,所以ABC的面积S=12424sin712=4(3+1).设AB=x,则在ABC中,由余弦定理得32=x2+16-8xcos4,即x2-42x-16=0,解得x=22+26(舍负),所以BD=2+6.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos4=16-43.(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组,通过解方程或者方程组得出未知元素.(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理(其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理.考向2解实际应用问题【例2】 (1)(2018江西南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米B处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米C处,若cos =34cos ,则v等于()(A)60(B)80(C)100(D)125(2)(2018吉林大学附中四模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,ABC=105,BCA=45,则可以计算出A,B两点的距离为m.解析:(1)作图如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),(*)由正弦定理得150sin=200sin,sin =43sin .由sin2+cos2=1,解得sin =35,故cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入(*)式,解得v=100.故选C.(2)根据三角形内角和为180,所以BAC=30,由正弦定理ABsinC=BCsinA,即ABsin45=50sin30,解得AB=502(m).答案:(1)C(2)502把实际问题归入可解三角形中,再根据正弦定理、余弦定理得出需要的量,解题中准确画出图形是关键一步.考向3平面图形中的有关计算【例3】 (1)(2018湖北省高三5月冲刺)九章算术是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦矢+矢矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23,弦长为403 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为()(其中3,31.73)(A)15 m2(B)16 m2(C)17 m2(D)18 m2(2)(2018湖南长郡中学二模)如图,在平面四边形ABCD中,A=45,B=60,D=150,AB=2BC=4,则四边形ABCD的面积为.解析:(1)因为圆心角为23,弦长为403 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40320+2020)=(4003+200)m2,实际面积等于扇形面积减去三角形面积为1223402-1220403=1 6003-4003m2,因此两者之差为1 6003-4003-(4003+200)16 m2.故选B.(2)连接AC,在ABC中,AB=2BC=4,B=60,利用余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BCABcos B,解得AC=23,所以AB2=AC2+BC2,所以ABC是直角三角形,所以DAC=DCA=15,过点D作DEAC,则AE=12AC=3,所以DE=tan 15AE=(2-3)3=23-3,则S四边形ABCD=SACD+SABC=6-33+23=6-3.答案:(1)B(2)6-3平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等,基本思想是找出平面图形中的可解三角形,通过解三角形计算出相关的元素,得出求解目标.热点训练:(1)(2018广西二模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积公式”为S=14a2c2-(a2+c2-b22)2.若a2sin C=24sin A,a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于()(A)31654(B)1554(C)1564(D)1574(2)(2018河南省高三最后一卷)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+2bsin A=csin C,a=2,b=22,则sin B=;(3)(2018山东潍坊青州三模)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=2,BC=3,ABAD,ACCD,AD=3AC,则AC=;(4)(2018广西省柳州市一模)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B-3bcos A=0.求A;当a=7,b=2时,求ABC的面积.(1)解析:由a2sin C=24sin A可得a2c=24a,所以ac=24,由a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A可得a(c-b)(c+b)=(27-a2)a,整理得a2+c2-b2=27,结合三角形面积公式可得S=14a2c2-(a2+c2-b22)2=14242-(272)2=1574.故选D.(2)解析:因为asin A+bsin B+2bsin A=csin C,所以a2+b2+2ab=c2.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=-22,又0C,所以C=34.c2=a2+b2-2abcos C=22+(22)2-2222-22=20,所以c=25.由正弦定理得csinC=bsinB,即2522=22sinB,解得sin B=55.答案:55(3)解析:设AC=x,AD=3x,在直角ACD中,得CD=AD2-AC2=22x,所以sinCAD=CDAD=223,在ABC中,由余弦定理得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=x2-122x,由于BAC+CAD=2,所以cosBAC=sinCAD,即x2-122x=223,整理得3x2-8x-3=0,解得x=3.即AC=3.答案:3(4)解:因为asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin A sin B-3sin B cos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3,故ABC面积为12bcsin A=332.法二由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217.又由ab知AB,所以cos B=277,故sin C=sin (A+B)=sinB+3=sin B cos 3+cos B sin 3=32114,所以ABC的面积为12absin C=332.解三角形与三角函数的综合考向1三角函数方法求三角形中的最值和范围【例4】 (1)(2018安徽江南十校二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,ABBC0,a=32,则ABC周长的取值范围是()(A)2+32,3+32(B)3,3+32(C)1+32,2+32(D)1+32,3+32(2)(2018福建厦门二检)等边ABC的边长为1,点P在其外接圆劣弧AB上,则SPAB+SPBC的最大值为.解析:(1)因为A是B和C的等差中项,所以2A=B+C,所以A=3,又ABBC0,则cos(-B)0,从而B2,所以2B23,因为asinA=bsinB=csinC=32sin3=1,所以b=sin B,c=sin C=sin23-B,所以ABC的周长为l=a+b+c=32+sin B+sin23-B=3sinB+6+32,又2B23,23B+656,12sinB+632,所以3l0,若f(x)的最小正周期为4.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)锐角三角形ABC中,(2a-c)cos B=bcos C,求f(A)的取值范围.解:(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6,因为f(x)的最小正周期为4,所以=14,所以f(x)=sin12x+6,令2k-212x+62k+2,kZ,解得4k-43x4k+23,kZ,所以f(x)的单调递增区间为4k-43,4k+23,kZ.(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得2sin Acos B=sin A,cos B=12,B=3,因为三角形ABC是锐角三角形,所以0A2且023-A2,所以6A2,所以412A+6512,所以22f(A)6+24.从三角恒等变换角度把三角函数式化为y=Asin(x+)的形式解决三角函数问题(如求最小正周期、单调区间、最值等),从正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的角度求解出三角形中的元素,结合三角函数的性质解决问题,特别要注意的事项是三角形中角的范围. 【例1】 (2018陕西咸阳5月信息专递)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B.(1)求角B;(2)若b=22,求ABC的面积最大值.解:(1)由已知和正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin B=cos B,又0B180,解得B=45.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即(22)2=a2+c2-2accos 45,整理得a2+c2=8+2ac.又a2+c22ac(当且仅当a=c时取等号),所以8+2ac2ac,即ac4(2+2),所以SABC=12acsin B124(2+2)22=22+2,故ABC面积的最大值为22+2.【例2】 (2018江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向63千米处.(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时CBP=45,求BP的距离;(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?解:(1)在ABP中,AB=6,A=60,APB=75,由正弦定理,ABsinAPB=BPsinA,即BP=6322+64=1236+2=123(6-2)4=33(6-2)=(92-36)(千米),故BP的距离是(92-36)千米.(2)甲从C到A,需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)9.当0t1时,f(t)=(6t)2+(12-3t)2-26t(12-3t)cos60=37t2-16t+169,即7t2-16t+70,解得8-157t8+157,又t0,1,所以8-157t1,时长为15-17小时.当1t4时,f(t)=36+(12-3t)2-26(12-3t)cos60=3t2-6t+129,即t2-6t+30,解得3-6t3+6,又t(1,4,所以1t4,时长为3小时.3+15-17=15+207(小时).故两人通过对讲机能保持联系的总时长是15+207小时.【例3】 (2018河南郑州外国语学校第十五次调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=3sin C.(1)若cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求sin A+sin B的值;(2)若c=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,所以1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,所以sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,所以a2+b2-c2=-ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=-12,又0C,所以C=23,sin A+sin B=3sin C=3sin23=32.(2)当c=2,a+b=3c=23,所以cos C=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab=4ab-1,所以sin C=1-cos2C=1-(4ab-1)2=-(4ab)2+8ab,所以SABC=12absin C=12ab-(4ab)2+8ab=12-16+8ab,因为a+b=23,所以a+b=232ab,即ab3,当且仅当a=b=3时等号成立,所以SABC=12-16+8ab12-16+83=2,所以ABC面积的最大值为2.(对应学生用书第22页) 【典例】 (2015全国卷,文17)(12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)若B=90,且a=2,求ABC的面积.评分细则:解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.2分又a=b,所以可得b=2c,a=2c.4分由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.6分(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.8分故a2+c2=2ac,得c=a=2,11分所以ABC的面积为1.12分【答题启示】(1)解三角形的基本工具是勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换公式,解题中首先要保证知识使用正确.(2)解三角形的基本思想是方程思想,通过(1)中的知识和已知条件得出关于求解目标的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得结果.
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