2019-2020年高三数学上学期期中、期末考试分类解析（19）创新题.doc

2019-2020年高三数学上学期期中、期末考试分类解析（19）创新题1.（xx年西城区高三期末考试文8）有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，且，则集合的个数是（ A ）A B. C. D.2.（xx年海淀区高三期末考试文8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离. 已知点，圆：，那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为1的点的轨迹是（ D ）A双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.射线3.（xx年西城区高三期末考试理8）已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线： ； ； 其中，型曲线的个数是（ C ）A B. C. D. 4. （xx年海淀区高三期末考试理8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 ( D )A圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线5.（xx年朝阳区高三期末考试理8）已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( A ) A 0 B. 1 C.2 D.无数个6.（xx年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理8）设集合，在上定义运算：，其中为被4除的余数，则使关系式成立的有序数对的组数为（ A ）A B. C. D.7.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）设函数内有定义，对于给定的正数，定义函数：取函数，在下列区间上单调递减的是（ D ）A. B. C. D.8.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)理6）规定若函数的图象关于直线对称，则的值为（ D ）A.-2 B.2 C.-1 D.19. （xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)理7）若，定义： ，例如：=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数的奇偶性为（ A ）A.是偶函数而不是奇函数 B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数10.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)理8）非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：非负整数，为整数的加法；偶数，为整数的乘法；平面向量，为平面向量的加法；二次三项式，为多项式的加法。其中关于运算为“融洽集”的是（ B ）A. B. C. D.11.（顺义区xx届高三尖子生综合素质展示8）对于任意，表示不超过的最大整数，如. 定义上的函数，若，则中所有元素的和为（ B ）A.55 B. 58 C.63 D.65分析： ，12.（顺义区xx届高三尖子生综合素质展示文8）对于任意，表示不超过的最大整数，如. 定义上的函数，若，则中所有元素的和为（ B ）A.11 B. 15 C.17 D.2113.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知定义域为的函数，若对于任意，存在正数，都有 成立，那么称函数是上的“倍约束函数”，已知下列函数：； ； ，其中是“倍约束函数”的是_（将你认为正确的函数序号都填上）答案：。14.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)理13）定义在上的运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 . 答案：。15.（xx年西城区高三期末考试理14）有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，则集合的个数是_；若集合满足，且，则集合的个数是_.（用数字作答）答案：，.16.（xx年昌平区高三期末考试理14）设函数的定义域为，若存在与无关的正常数，使对一切实数均成立，则称为有界泛函.在函数，中，属于有界泛函的有_(填上所有正确的序号) .答案：。17.（xx年西城区高三期末考试文14）设，不等式组 所表示的平面区域是给出下列三个结论： 当时，的面积为； ，使是直角三角形区域； 设点,对于有其中，所有正确结论的序号是_答案：、.18.（xx年朝阳区高三期末考试理14）已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为_. 答案： 19.（xx年昌平区高三期末考试文20）是具有以下性质的函数的全体：对于任意，都有，且.（I）试判断函数，是否属于？（II）证明：对于任意的，且都有；（III）证明：对于任意给定的正数，存在正数，当时，.解：()由题意可知，若成立则 即 与已知任意，即相矛盾，故； 2分 若成立 则即 ， 即成立 .4分故.综上，. 5分(II) 当时， 当时，故 . 9分(III) 据（II），且必有（*）若，令，则时 ；若则存在，使由（*）式可得即当综、命题得证。 13分20.（xx年海淀区高三期末考试文20）若集合具有以下性质：，；若，则，且时，.则称集合是“好集”.（）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（）设集合是“好集”，求证：若，则；（）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；解：（）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”. 因为，所以. 这与矛盾.2分有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”. 4分（）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.所以，即. 7分（）命题均为真命题. 理由如下： 9分对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.所以 ，即.所以 . 由（）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若且，则.所以 .所以 .由（）可得：.所以 .综上可知，即命题为真命题.若，且，则.所以 ，即命题为真命题. 14分 21.（xx年西城区高三期末考试理20）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.（）解：. 3分（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列. 13分22.（xx年海淀区高三期末考试理20）已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ，；，.（）若集合是集合的一个元基底，证明：；（）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.解：（）不是的一个二元基底.理由是 ； 是的一个二元基底. 理由是 ， .3分（）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. 8分（）由（）可知，所以.当时，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底.综上，的最小可能值为5. 14分23.（xx年东城区高三期末考试理20）已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，方程有实数根；函数的导数满足（）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任，都存在，使得等式成立试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.解：（）因为当时，所以方程有实数根0；，所以，满足条件；由，函数是集合中的元素. 5分（）假设方程存在两个实数根，则，.不妨设，根据题意存在，满足. 因为，且，所以.与已知矛盾.又有实数根，所以方程有且只有一个实数根. 10分（）当时，结论显然成立；当，不妨设.因为,且所以为增函数，那么.又因为，所以函数为减函数， 所以. 所以，即.因为，所以， （1）又因为，所以， （2）（1）（2）得即.所以.综上，对于任意符合条件的,总有成立.14分24.（xx年海淀区高三年级第一学期期中练习文20）已知函数其中集合是非空数集.设，.（）若，求；（）若，且函数是定义在上的单调递增函数，求集合；（）判断命题“若，则”的真假，并说明理由.解：（）因为，所以，.所以. 3分（）因为函数是的增函数，且，所以当时，所以，.同理可知，.因为，所以. 6分（）原命题为真命题.理由如下： 8分假设存在，且，有. 因为，若，则.所以，与矛盾.若且，则，.因为，所以，.所以，.由函数的定义可得：，即，与矛盾.所以命题“若，则”为真命题.14分25. （xx年海淀区高三年级第一学期期中练习理20）已知函数其中是非空数集，且，设，.（）若，求；（）是否存在实数，使得,且？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（）若，且，是单调递增函数，求集合.解：（）因为，所以，.所以. 3分（）若，则，不符合要求.所以，从而.因为，所以，得.若，则.因为，所以的原象且.所以得，矛盾！所以.此时可取，满足题意.8分（）因为是单调递增函数，所以对任意，有，所以.所以. 同理可证：.若存在，使得，则，于是.记，所以.同理可知，由得.所以.对于，取中的自然数，则.所以.综上所述，满足要求的必有如下表示：，其中或者，其中或者，或者，.14分 注：若直接写出结论，且正确，给2分.26.（顺义区xx届高三尖子生综合素质展示文20）已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.（）判断函数是否是“S-函数”；（）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.解：（）若是“S-函数”，则存在常数使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b时，对xR恒成立. 而x2=a2-b最多有两个解，矛盾.因此不是 “S-函数”.2分若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，即存在常数对（a, 32a）满足.因此是“S-函数”.4分（）是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b）满足.则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)不是常数.5分因此，时，则有.即恒成立.7分即.当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1,因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.9分() 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即,12分13分因此为以2为周期的周期函数.当时，函数的值域为. 14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.27.（顺义区xx届高三尖子生综合素质展示20）已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.（）判断函数是否是“S-函数”；（）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.解：（）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b时，对xR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，因此不是“S-函数”.2分若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，即存在常数对（a, 32a）满足.因此是“S-函数”4分（）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数 5分因此，,则有.即恒成立. 7分即,当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.9分() 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即, ，.10分 11分 因此, 13分 综上可知当时函数的值域为.14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.28.（xx年东城区高三示范校高三综合练习(一)理20）若，为常数，且（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（）设为两实数，且,若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）解：（）恒成立;（*）因为,所以，故只需（*）恒成立.综上所述，对所有实数成立的充要条件是. 4分（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为. 6分2如果.（1）当时.，当，因为，所以，故=.当，因为，所以，故=.因为，所以，所以即.当时，令，则，所以，当时，所以=;时，所以=.在区间上的单调增区间的长度和=. 10分（2）当时.，当，因为，所以，故=.当，因为，所以，故=.因为，所以，所以.当时，令，则，所以，当时， ，所以=;时，所以=;在区间上的单调增区间的长度和=.综上得在区间上的单调增区间的长度和为. 14分