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33直线的方向向量读教材填要点1直线的方向向量一般地，如果向量v0与直线l平行，就称v为l的方向向量2直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直它们的方向向量垂直(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量与 平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：k(k是某个实数)(3)求两条异面直线AB，CD所成的角若两条异面直线AB，CD所成的角为，所成的角为1，则cos |cos_1|.小问题大思维1直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补求异面直线所成的角 (2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.自主解答以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.答案C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角1.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC.OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点求异面直线AB与MD所成角的大小解：作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D，M(0,0,1)设AB和MD所成角为，(1,0,0)，cos .异面直线AB与MD所成角的大小为.证明线线垂直已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.自主解答法一：(基向量法)设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，ac，(ab)，bc，abc，(ac)cos 600.AB1MN.法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M.，(1,0,1)，00.AB1MN.利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量2直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中点在DD1上是否存在一点N，使MNDC1？并说明理由解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则， (0,2,3)，(0,2,3)43h，当h时，0，此时，存在NDD1，使MNDC1.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知空间四边形OABC各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成的角的余弦值巧思求异面直线OE与BF所成的角，由于已知OA，OB，OC的长度及夹角，因此，可以用，表示与，然后利用向量的夹角公式计算即可妙解设a，b，c，且|a|b|c|1，则abbcca.又(ab)，cb，|.所以(ab)acabbc|b|2.所以cos，.所以直线OE与BF所成角的余弦值为.1若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)解析：(2,4,6)，且(2,4,6)2(1,2,3)，直线l的一个方向向量是(1,2,3)答案：A2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m()A1B2C.D3解析：l1l2ab262m0m2.答案：B3在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.答案：B4直线l1的方向向量v1(1,0，1)，直线l2的方向向量为v2(2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是_解析：v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，v22v1，v1v2，l1与l2平行或重合答案：平行或重合5已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点则直线AC与DE所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，则(a，a，a)，cos，.答案：6.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，如图所示求证：EFCF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F.，.00.，即EFCF.一、选择题1已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a(4，1，0)，b(1,4,5)，c(3,12，9)，则()Al1l2，但l1与l3不垂直Bl1l3，但l1与l2不垂直Cl2l3，但l2与l1不垂直Dl1，l2，l3两两互相垂直解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)1212240.bc(1,4,5)(3,12，9)348450，ab，a与c不垂直，bc.l1l2，l2l3，但l1不垂直于l3.答案：A2已知直线l1的一个方向向量为a(1，2,1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2,0)，则两直线所成角的余弦值为()A1B.C.D.解析：cosa，b.答案：D3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0B.CD.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)所以(2，2,3)，(2,2,0)所以cos，0.答案：A4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.答案：A二、填空题5已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则x_，y_.解析：l1l2，ab，x6，y.答案：66已知直线l1的方向向量为a(1，2,2)，l2的方向向量为b(x,3，x)，且l1l2，则x_.解析：l1l2，ab，即ab0，x62x3x60，x2.答案：27若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于_解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成的角等于30.答案：308在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或三、解答题9.如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC，求异面直线AC与VD所成角的余弦值解：因为ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)在RtVCD中，CD，VDC，故V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)所以cos， .所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.10.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD.应用空间向量方法解决下列问题(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系由已知有E，F，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，C1(0，1,1)，G.(1)证明：，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，(1)0(1)0，得，EFB1C.(2) (0,1,1)，| ，由(1)得| ，且0(1)，cos，异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
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