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第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量的分布列及其性质1,2,4,7,10离散型随机变量的均值、方差6,8,9,11,12超几何分布3,5,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2017茂名市二模)若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于(C)(A)2 (B)2或(C)(D)1解析:由题意, +=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0+1=.故选C.2.(2017南宁市二模)设随机变量X的概率分布表如图,则P(|X-2|=1)等于(C)X1234Pm(A)(B)(C)(D)解析:m=,P(|X-2|=1)= +=.故选C.3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X8的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:X的取值为6,9,12,X8时,P(X=9)=,P(X=12)=,所以X8的概率为+=.故选C.4.设随机变量的分布列为P(=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P()等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由已知,分布列为12345Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.所以P(6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.6.(2017合肥市二模)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则E()等于(C)(A)3(B)(C)(D)4解析:由题意知的可能取值为2,3,4,P(=2)=,P(=3)=(+)=,P(=4)=1-P(=2)-P(=3)=1-=,所以E()=2+3+4=.故选C.7.设随机变量等可能取1,2,3,n,若P(4) =0.3,则n=. 解析:因为1,2,3,n每个值被取到的概率为,所以P(4)=P(=1)+P(=2)+P(=3)= +=0.3,所以n=10.答案:108.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是元.解析:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6 0000.96+(-25 000)0.04=4 760(元).答案:4 760能力提升(时间:15分钟)9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中,记随机变量=|a-b|,则E()为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为抛物线的对称轴在y轴的左侧,所以-0,即a,b同号.所以随机变量的分布列为012P所以E()=0+1+2=.故选A.10.(2017临汾联考)口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为.解析:X的取值为3,4,5.又P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=.所以随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6答案:X345P0.10.30.611.(2017黔东南州一模)从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;(2)若用分层抽样的方法从分数在30,50)和130,150的学生中抽取6人,该6人中成绩在130,150的有几人?(3)在(2)抽取的6人中,随机抽取3人,设分数在130,150内的人数为,求其数学期望E().解:(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.005 02040+0.007 52060+0.007 52080+0.015 020100+0.012 520120+0.002 520140=92.(2)样本中分数在30,50)和130,150的人数分别为6人和3人,所以抽取的6人中分数在130,150的人有6=2(人).(3)由(2)知:抽取的6人中分数在130,150的有2人,依题意的所有取值为0,1,2,当=0时,P(=0)=;当=1时,P(=1)=;当=2时,P(=2)=;所以E()=0+1+2=1.12.(2016湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为X,写出X的分布列和数学期望E(X).解:(1)甲班样本数据的平均值为 (9+11+13+20+24+37)=19,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为19小时;乙班样本数据的平均值为 (11+12+21+25+27+36)=22,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2) =,P(X=3)=,P(X=4)=.X的分布列是X01234PE(X)=0+1+2+3+4=.13.调查表明,高三学生的幸福感与成绩、作业量、人际关系的满意度的指标有极强的相关性,现将这三项的满意度指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意.再用综合指标w=x+y+z的值评定高三学生的幸福感等级:若w4,则幸福感为一级;若2w3,则幸福感为二级;若0w1,则幸福感为三级.为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况,研究人员随机采访了该群体的10名高三学生,得到如下结果:人员编号A1A2A3A4A5(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人员编号A6A7A8A9A10(x,y,z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在这10名被采访者中任取两人,求这两人的成绩满意度指标x相同的概率;(2)从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为a,从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求X的分布列及其数学期望.解:(1)设事件A:在这10名被采访者中任取两人,这两人的成绩满意度指标x相同,成绩满意度指标为0的有1人;成绩满意度指标为1的有7人;成绩满意度指标为2的有2人.则P(A)=.(2)统计结果,幸福感等级是一级的被采访者共6人,幸福感等级不是一级的被采访者共4名,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=.所以X的分布列为X12345PE(X)=1+2+3+4+5=.
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