2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 第2课时 复数的乘方与除法运算学案 苏教版选修1 -2.docx

第2课时复数的乘方与除法运算学习目标1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i的幂的周期性知识点一复数的乘方与in(nN*)的周期性思考计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(nN*)的值有什么规律吗？答案i5i，i61，i7i，i81，推测i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN*)梳理(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z，z1，z2和m，nN*，有zmznzmn.(zm)nzmn.(z1z2)nzz.(2)虚数单位i的乘方：in(nN*)的周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.知识点二复数的除法思考如何规定两复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？答案通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘以cdi，化简后可得结果梳理把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x，yR)叫做复数abi除以复数cdi的商，且xyii.1两个复数的积与商一定是虚数()2复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()类型一i的运算特征例1计算下列各式的值(1)1ii2i2015i2016；(2)2014(1i)2014.解(1)1ii2i2015i20161.(2)111i，且(1i)22i.2014(1i)2014(1i)2014(1i)21007(2i)1007(2i)100721007i321007i30.反思与感悟(1)虚数单位i的性质i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(2)复数的乘方运算，要充分使用(1i)22i，(1i)22i，i及乘方运算律简化运算跟踪训练1计算：i2006(i)850.解i2006(i)850i450122(1i)2425i2(4i)4i251256i255i.类型二复数的除法运算例2(1)已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是答案1i解析1i，复数的共轭复数为1i.(2)计算：.解原式1i.反思与感悟复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.跟踪训练2已知i是虚数单位，则.答案1解析i，i3(i)i41.类型三复数四则运算的综合应用例3计算：(1)(5i2)2；(2).解(1)(5i2)2(51)i4i4.(2)原式(2i)2i4i.反思与感悟(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用i(a，bR，bai0)利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化记忆一些简单结论如i，i，i，(1i)22i等设i，则210，31.跟踪训练3计算：(1)6；(2).解(1)原式i66ii2i1.(2)原式i1.1i为虚数单位，.考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案0解析i，i，i，i，0.2若复数的实部与虚部互为相反数，则b.答案解析，由题意知22b(b4)0，得b.3如果z，那么z100z501.答案i解析z22i，则z100z501(z2)50(z2)251i50i2511i1i.4已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)，i，则a.答案2解析由题意可知ii，因此.化简得5a253a23，所以a24，则a2.由可知a0，所以a2.5化简：.答案2i解析原式3ii2i.1熟练掌握乘除法运算法则求解运算时要灵活运用in的周期性此外，实数运算中的平方差公式、完全平方公式在复数运算中仍然成立2在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答在这里需要掌握一些常用的结论，如(1i)22i，(1i)22i，i，i，baii(abi)利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错3在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现“i21”，“i41”等错误.一、填空题1复数i3.答案0解析i，i3i2ii.原式ii0.2复数.答案1解析原式1.3已知复数z13bi，z212i，若是实数，则实数b.答案6解析，是实数，6b0，即b6.4.是z的共轭复数若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z.答案1i解析设zabi(a，bR)，则abi，由z2a2，得a1.(z)i2bi22，得b1，z1i.5设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z，则.考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案1i解析z1i，所以1i.6若复数z12i，其中i是虚数单位，则.答案6解析因为z12i，所以12i.所以z1516.7复数z满足方程i1i，则z.答案1i解析1i，z1i.8设复数z12i，z213i，则复数的虚部为答案1解析iiii，虚部为1.9定义：adbc，若复数z满足12i，则z.答案1i解析zii12i，则z1i.10如果z123i，z2，则.答案43i解析z123i，z2，i(2i)2(34i)i43i.11若f(z)1(zC)，已知z123i，z25i，则f.答案i解析i，故f()1i.二、解答题12计算220.解220(12i)1(i)52i10(1i)2i1012i.13已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解由(z12)(1i)1i，得z122i.由复数z2的虚部为2，设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，4a0，即a4，z242i.三、探究与拓展14已知i是虚数单位，则i2i23i38i8.答案44i解析设Si2i23i38i8，则iSi22i37i88i9，得(1i)Sii2i3i88i98i8i.S44i.15满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由解设虚数zxyi(x，yR，且y0)，则zxyixi.由已知得y0，解得或存在虚数z12i或z2i满足条件