资源描述
22.1双曲线的定义与标准方程读教材填要点1双曲线的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2小问题大思维1双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F1F2|？若定值等于|F1F2|或等于0或大于|F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线(3)如果定义中定值改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在2在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是是双曲线的一支3若方程1表示双曲线，m，n应满足什么条件？提示：若方程1表示双曲线，则mn0.双曲线定义的应用 在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足sin Bsin Asin C，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线自主解答如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C.sin Bsin Asin C，ba.从而有|CA|CB|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支a，c2，b2c2a26.顶点C的轨迹方程为1(x)故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离同时具备这两个条件才是双曲线1已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积解：因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以SF1PF2|PF1|PF2|3216.求双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上；(2)过点P，Q且焦点在坐标轴上自主解答(1)焦点在x 轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1.5或30(舍去)所求双曲线方程是y21.(2)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)，把A点的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，即1k0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3.答案：A3已知点F1(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2.当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D2解析：因为动点P满足|PF2|PF1|2为定值，又20，且m952，解得m16.答案：166已知双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)和F2(3,0)，且P在双曲线右支上，则该双曲线的方程是_解析：法一：利用双曲线定义2a|PF1|PF2| 2，a，b2c2a24.故所求方程为1.法二：待定系数法设双曲线方程为1，则有1，4a465a22250.a25或a29(舍去)双曲线方程为1.答案：17在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析：设右焦点为F1，依题意，|PF|PF1|4，|PF|PA|PF1|4|PA|PF1|PA|4|AF1|4549.答案：9三、解答题9若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围解：方程1表示焦点在y轴上的双曲线，即m5.即m的取值范围是(5，)10已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为1，焦点在x轴上，且c.故可设双曲线方程为1(a0，b0)依题意得解得a23，b22.故双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1为钝角，故MF1F2是钝角三角形
展开阅读全文