2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（第2课时）正弦定理和余弦定理学案（含解析）新人教B版必修5.docx

第2课时正弦定理和余弦定理学习目标1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.掌握用两边夹角表示的三角形面积.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题知识点一正弦定理、余弦定理及常见变形1正弦定理及常见变形(1)2R(其中R是ABC外接圆的半径)；(2)a2RsinA；(3)sinA，sinB，sinC.2余弦定理及常见变形(1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC；(2)cosA，cosB，cosC.知识点二用两边夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SABCabsin Cbcsin Aacsin B.思考1SABCabsinC中，bsinC的几何意义是什么？答案BC边上的高思考2如何用AB，AD，角A表示ABCD的面积？答案SABCDABADsinA.1当b2c2a20时，ABC为锐角三角形()2ABC中，若cos2Acos2B，则AB.()3在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cosA)()4ABC中，若c2a2b20，则角C为钝角()5ABC的面积Sabc(其中R为ABC外接圆半径)()题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中，若ccosBbcosC，cosA，求sinB的值解由ccosBbcosC，结合正弦定理，得sinCcosBsinBcosC，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cosA，由余弦定理可知，a2b2c22bccosA2b22b2b2，得3a22b2，再由余弦定理，得cosB，故sinB.引申探究1对于本例中的条件，ccosBbcosC，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得cb.化简得a2c2b2a2b2c2，c2b2，从而cb.2本例中的条件ccosBbcosC的几何意义是什么？解如图，作ADBC，垂足为D.则ccosBBD，bcosCCD.ccosBbcosC的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等反思感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值解(1)由题意及余弦定理知，cosA，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sinBsinBsinA.题型二求三角形面积例2在ABC中，已知BC6，A30，B120，则ABC的面积为()A9B18C9D18答案C解析由正弦定理得，AC6.又C1801203030，SABCACBCsin C669.反思感悟求三角形面积，主要用两组公式(1)底高(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求跟踪训练2在ABC中，已知tanA，当A时，ABC的面积为答案解析|cosAtanA，|，SABC|sinAtan2A.题型三利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，试判断三角形的形状解方法一由正弦定理知，a2Rsin A，b2Rsin B，R为ABC外接圆半径，sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形方法二由，得11，由余弦定理，得，.a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，a2c2a4b2c2b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟(1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理(2)变形要注意等价性，如sin2Asin2B2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)c2a2b2.跟踪训练3在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定答案C解析由正弦定理知，sinA，sinB，sinC.sin2Asin2Bsin2C可化为a2b2c2，a2b2c20.cosC0.角C为钝角，ABC为钝角三角形题型四利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明例4在ABC中，有(1)abcosCccosB；(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明证明方法一(1)由正弦定理，得b2RsinB，c2RsinC，bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2R(sinBcosCcosBsinC)2Rsin(BC)2RsinAa.即abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.方法二(1)由余弦定理，得cosB，cosC，bcosCccosBbca.abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC；(3)cacosBbcosA.反思感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系跟踪训练4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，c6，则.答案1解析由余弦定理得cosA，所以1.求三角形一角的值典例在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为()A.B.或C.D.或答案B解析cosB，a2c2b22accosB，代入已知等式得2accosBtanBac，即sinB，则B或.素养评析选择运算方法是数学运算素养的内涵之一运算从一点出发可以有无限个方向一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：公式要熟，如本例至少应知道cos B，tan B.观察联想，如看到a2c2b2应联想到a2c2b22accos B.权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2c2b2化为2accos B简单.1在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为()A3B3C6D6答案B解析SABCabsinC43sin603.2在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于()A60B45或135C120D30答案C解析b2a2c22accosBa2c2ac，ac2accosB，cosB，又0B180，B120.3在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinAbsinBcsinC，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案C解析根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cosC0，所以能组成锐角三角形2已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b22a2ac2c2，则sinB等于()A.B.C.D.答案A解析由2b22a2ac2c2，得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理，得a2c2b22accosB，4accosBac0.ac0，4cosB10，cosB，又B(0，)，sinB.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b3，A60，则边c等于()A1B2C4D6答案C解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)4若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.B84C1D.答案A解析由余弦定理c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC，(ab)2c22ab(1cosC)2ab(1cos60)3ab4，ab.5已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2b2ab，C，则的值为()A.B1C2D3答案C解析由余弦定理得c2b2a22abcosCa2abab，所以a2b，所以由正弦定理得2.6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc2a，3sinA5sinB，则C等于()A.B.C.D.答案C解析由正弦定理和3sinA5sinB，得3a5b，即ba，又bc2a，ca，由余弦定理得cosC，C.7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A.B.C.D3答案C解析由题意得c2a2b22ab6，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b2ab，2ab6ab，即ab6.SABCabsinC.8在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中，由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcosABC()23223cos5.AC，由正弦定理，得sinBAC.二、填空题9若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAcsinCasinCbsinB，则B.答案45解析由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理，得b2a2c22accosB，故cosB.又因为B为三角形的内角，所以B45.10在ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2c2a2bc，且bc8，则ABC的面积为答案2解析因为b2c2a2bc，所以cosA，所以A，三角形面积SbcsinA82.11在ABC中，a2b2bc，sinC2sinB，则A.答案30解析由sinC2sinB及正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cosA，又0A180，所以A30.三、解答题12.如图，在ABC中，D是边AC上的点且ABAD，2ABBD，BC2BD，求sin C的值解设ABa，则ADa，BD，BC2BD，cosA，A，sinA.由正弦定理，得sinCsinA.13已知在ABC中，BC15，ABAC78，sinB，求BC边上的高AD的长解在ABC中，设AB7x，则AC8x，由正弦定理，得，则sinC，因为0C180，ABAC，所以C60或C120(舍去)再由余弦定理，得(7x)2(8x)215228x15cos60，即x28x150，解得x3或x5，所以AB21或AB35.当AB21时，AC24，当AB35时，AC40，均可与BC15构成三角形在ABD中，ADABsinBAB，所以AD12或AD20.14在ABC中，关于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有两个不等的实根，则A为()A锐角B直角C钝角D不存在答案A解析由方程可得(sinAsinC)x22xsinBsinAsinC0.方程有两个不等的实根，4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理，代入不等式中得b2a2c20，再由余弦定理，有2bccosAb2c2a20.0A90，A为锐角15在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC，试判断ABC的形状解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A.0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B，sin Bcos B，即sin(B30)1.又0B120，30B30150，B3090，即B60，ABC60，ABC为正三角形