2018-2019学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算讲义含解析苏教版选修2 .doc

3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1复数的加法、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)2复数加法的运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3).复数的乘法设z1abi，z2cdi，(a，b，c，dR)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可即z1z2(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(bcad)i.问题2：试验复数乘法的交换律提示：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i.故z1z2z2z1.1复数的乘法设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR)2复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3共轭复数问题：复数34i与34i，abi与abi(a，bR)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数1把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数2复数zabi的共轭复数记作，即abi.3当复数zabi的虚部b0时，z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身1复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)两个复数的和或差仍是一个复数2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数复数的加减运算例1计算：(1)(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(55i)(22i)(33i)思路点拨解答本题可根据复数加减运算的法则进行精解详析(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(55i)(22i)(33i)(523)5(2)3i10i.一点通复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项1(35i)(4i)(34i)_.解析：(35i)(4i)(34i)(343)(514)i410i.答案：410i2若(7i5)(98i)(xyi)2，则xy_.解析：(7i5)(98i)(xyi)(59x)(78y)i(x4)(y1)i.(x4)(y1)i2，即x42，y10.x6，y1.xy5.答案：53计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解：(1)原式(42i)(56i)18i；(2)原式5i(4i)44i.复数的乘法例2计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.思路点拨应用复数的乘法法则及乘法运算律来解精解详析(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.一点通(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立一些常见的结论要熟悉：i21，(1i)22i.4(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(1i)(2i)_.解析：(1i)(2i)2i2ii213i.答案：13i5若(1i)(2i)abi，其中a，bR，i为虚数单位，则ab_.解析：(1i)(2i)13iabi，a1，b3，故ab4.答案：46计算下列各题(1)(1i)2；(2)(13i)(34i)；(3)(1i)(1i)解：(1)(1i)212ii22i.(2)(13i)(34i)34i9i12i2913i.(3)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.共轭复数的概念例3已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.思路点拨.精解详析设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.一点通(1)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数(2)若0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数7已知复数z1i，为z的共轭复数，则zz1_.解析：z1i，1i，z(1i)(1i)2，zz12(1i)121i1i.答案：i8复数z满足(12i)43i，则z_.解析：设zabi，则abi.(12i)(abi)43i，abi2ai2b43i，即(a2b)(2ab)i43i，解之得a2，b1.z2i.答案：2i9已知复数 z1i，求实数 a，b 使 az2b(a2z)2成立解：z1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b 都是实数，由 az2b(a2z)2，得两式相加，整理得 a26a80.解得 a12，a24，对应得 b11，b22.所求实数为 a2，b1 或 a4，b2.1复数的加减运算把复数的代数形式zabi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则2复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简一、 填空题1计算(i3)(25i)的结果为_解析：(i3)(25i)i325i6i5.答案：56i2若复数z12i，(i为虚数单位)则zz的实部是_解析：z12i，12i，z(12i)(12i)5，zz512i62i.答案：63已知3i(43i)z(67i)，则z_.解析：3i(43i)z(67i)z3i(43i)(67i)(346)(137)i55i.答案：55i4(北京高考)若(xi)i12i(xR)，则x_.解析：(xi)i1xi12i，由复数相等的定义知x2.答案：25已知z134i，z2ti，且z12是实数，则实数t_.解析：z2ti，2ti，z12(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i，又z12是实数，4t30，即t.答案：二、解答题6计算：(1)；(2)(32i)(2)i；(3)(63i)(32i)(34i)(2i)解：(1)原式ii；(3)(32i)(2)i3(22)i3i；(3)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.7计算：(1)(4i6)2i；(2)(1i)解：(4i6)2i2i6i239i2i76i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.8(江西高考改编)是z的共轭复数若z2，(z)i2(i为虚数单位)，求z.解：法一：设zabi(a，bR)，则abi，z2a2，a1.又(z)i2bi22b2.b1.故z1i.法二：(z)i2，z2i又z2.z(z)2i2，2z2i2，z1i.