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22不等式选讲1.已知函数f(x)=m-|x-3|,mR,不等式f(x)2的解集为x|2x2,得m-|x-3|2,所以5-mx2的解集为(2,4),所以5-m=2且m+1=4,解得m=3.(2)关于x的不等式|x-a|f(x)恒成立,等价于|x-a|+|x-3|3恒成立,即|a-3|3恒成立,解得a6或a0.2.已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当m=-1时,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含34,2,求m的取值范围.解析(1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,当x1时,f(x)=3x-22,解得1x43;当12x1时,f(x)=x2,解得12x1的解集;(2)当x(0,1)时,不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=|x+1|-|2x-1|,即f(x)=x-2,x-1,3x,-1x1得x-21,x-1或3x1,-1x1,x12,解得13x12或12x1的解集为x|13xx成立等价于当x(0,1)时,|ax-1|0,由|ax-1|1,解得0x2a,所以2a1,故00,b0,a2+b2=a+b.证明:(1)(a+b)22(a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4.解析(1)因为(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20,所以(a+b)22(a2+b2).(2)由(1)及a2+b2=a+b,得0a+b2.因为(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)22=a+b+2224,当且仅当a=b=1时等号成立,所以(a+1)(b+1)4.能力1会解绝对值不等式【例1】已知函数f(x)=|x-a|.(1)若a=1,求不等式f(2x)-f(x+1)2的解集;(2)若f(2x)-x2的解集为R,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=|x-1|,则f(2x)-f(x+1)2,即|2x-1|-|x|2.当x0时,原不等式等价于-(2x-1)+x2,解得x-1;当0x2;(2)当a=0时,不等式f(x)t2-t-7对xR恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)当a=1时,由f(x)2得|2x+1|-|x-1|2,故有x2或-12x1,2x+1+x-12或x1,2x+1-(x-1)2,即x-4或231,即x23,故原不等式的解集为x|x23.(2)当a=0时,f(x)=|2x|-|x-1|=-x-1,x1,由函数f(x)的图象(图略)知,f(x)min=f(0)=-1.由-1t2-t-7得t2-t-60,解得-2t0,b0,且a2+b2=1,证明:(1)4a2+b29a2b2;(2)(a3+b3)20,b0,a,b(0,1),a3a2,b3b2,a3+b3a2+b2,又a2+b2=1,(a3+b3)20的解集为R,求实数a的取值范围.解析(1)f(x)=|x+2|+|x-1|x+2-(x-1)|=3,函数f(x)的最小值为3,此时x的取值范围为-2,1.(2)不等式f(x)+ax-10的解集为R,等价于f(x)-ax+1成立时,即函数f(x)的图象恒位于直线y=-ax+1的上方.f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x1,又函数y=-ax+1表示过点(0,1),斜率为-a的一条直线,如图所示,由题意可知,3-1-2-0-a3-11-0,解得-2a1.实数a的取值范围为(-2,1).(1)求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:利用绝对值的几何意义;利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|;利用零点分区间法.(2)恒成立问题的解决方法:f(x)m恒成立,须有f(x)maxm恒成立,须有f(x)minm;不等式的解集为R,即不等式恒成立;不等式的解集为空集,即不等式无解.已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR.(1)若不等式f(x)2-|x-1|有解,求实数a的取值范围;(2)当a2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.解析(1)由f(x)2-|x-1|,得x-a2+|x-1|1.由绝对值的几何意义知x-a2+|x-1|a2-1.不等式f(x)2-|x-1|有解,a2-11,解得0a4.实数a的取值范围为0,4.(2)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点为a2和1,当a2时,a21,f(x)=-3x+a+1x1),作出函数f(x)的图象,由图可知f(x)在-,a2上单调递减,在a2,+上单调递增,f(x)min=fa2=-a2+1=3,解得a=-42|x|.(2)若f(x)a2+2b2+3c2对任意xR恒成立,求证:ac+2bc78.解析(1) f(x)2|x|x2+|x-2|2|x|x2,x2+x-22x或0x2x或x0,x2+2-x-2xx2或0x2或x2|x|的解集为(-,1)(2,+).(2)当x2时,f(x)=x2+x-24;当x0,b0,a+b=1.求证:(1)1a+41+b92;(2)2a+1+2b+122.解析(1)a0,b0,a+b=1,1=12a+(b+1),1a+41+b=121a+41+ba+(b+1)=125+b+1a+4ab+192,当且仅当b+1=2a,即a=23,b=13时,等号成立.(2)(分析法)要证2a+1+2b+122,只需证2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a0,b0,a+b=1,只需证(2a+1)(2b+1)2.由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,由此逆推而上,则不等式2a+1+2b+122成立.3.已知函数f(x)=|ax-1|.(1)当a=3时,解不等式f(x)|x+1|;(2)若关于x的不等式f(x)+f(-x)|m-1|有实数解,求m的取值范围.解析(1)当a=3时,f(x)|x+1|化为|3x-1|x+1|,两边平方得9x2-6x+1x2+2x+1,即8x(x-1)0,解得x0或x1,所以原不等式的解集为(-,01,+).(2)f(x)+f(-x)|m-1|等价于|ax-1|+|-ax-1|m-1|,因为|ax-1|+|-ax-1|ax-1-ax-1|=2,所以f(x)+f(-x)的最小值为2,因为不等式f(x)+f(-x)|m-1|有实数解,所以2|m-1|,即m-12,解得m3.4.已知函数f(x)=|tx-3|+|x-1|(t为常数).(1)当t=4时,求不等式f(x)2的解集;(2)当t=1时,若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足2a+8b=M,证明:a+b9.解析(1)当t=4时,f(x)2等价于|4x-3|+|x-1|2.当x1时,4x-3+x-12,x65;当34x2,2x-35或1x2,15或x1,3-2x5,解得2x4或1x2或-1x-2,g(x)=x2+2ax+74,若对于x-1,a2,都有f(x)g(x)成立,求a的取值范围.解析(1)当a=6时,f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)12等价于|x+2|+|x-3|6.因为|x+2|+|x-3|=2x-1,x3,5,-2x3,-2x+1,x3,2x-16或-2x3,56或x-2,且x-1,a2时,f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,所以f(x)g(x),即4+ag(x).又g(x)=x2+2ax+74的最大值必为g(-1),ga2之一,所以4+a114-2a,4+a54a2+74,即3a-54,54a2-a-940,解得-512a95,所以a的取值范围为-512,95.
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