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2019年小学数学四年级排列组合习题解答 极客数学帮黄加明老师前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点. 看下面的例子.例1 由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？分析 注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.第一类：一位偶数只有0、2，共2个；第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13C12）种不同的取法；第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有22个，三位偶数共有（P2322）个；第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取 0，则共有P33个；若个位取 2，则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2P22个.所以，四位偶数共有（P332P22）种不同的取法.解： 由加法原理知，共可以组成2（C13C12）（P2322）（P332P22）25101027个不同的偶数.补充说明：本题也可以将所有偶数分为两类，即个位为0和个位为2的两类.再考虑到每一类中分别有一位、两位、三位、四位数，逐类讨论便可求解.例2 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：共需比赛多少场？如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？分析 比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.中，第一组中8个队，每两队比赛一场，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.中，由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是中的2倍.另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.解： 由加法原理： 行单循环赛共比赛实行主客场制，共需比赛2（C28C27C24）110（场）.或解为：P28P27P24877643564212110（场）.例3 在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个 角形？四边形？分析 我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的每三个点均不共线（由于A、B既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算，可把它们归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半圆弧上取（不含A、B两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另一个顶点在线段上取（含A、B）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在线段上取.注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是组合问题.解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有由加法原理，这12个点共可以组成C37（C27C15）（C17C25）3510570210（个）不同的三角形.也可列式为C312C3522010210（个）.分析 用解的方法考虑.将组成四边形时取点的情况分为三类：第一类：四个点全在圆弧上取.（不包括A、B）有C17种取法.第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27C25种.第三类：圆弧上取3个点，直线上取1个点，有C37C15种取法.解： 依加法原理，这12个点共可组成：C47+ C27C25+C37C1535210175420个不同的四边形.还可直接计算，这12个点共可组成：C412-C45-C35C174955-70420个不同的四边形.例4 如下图，问下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？分析 由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此只要看上左图中水平方向的所有平行线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，可以选出几组两条平行线？由于长方体是由三组分别平行的平面组成的.因此，只要看上页右图中，平行于长方体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面.解： C25C27210（个）因此，上页左图中共有210个长方形.C25C26C24900（个）、因此，上页右图中共有900个长方体.例5 甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问： 拿到自己作业本的拿法有多少种？恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？分析 甲拿到自己的作业本，这时只要考虑剩下的三个人拿到其他三本作业本的情况.由于其他三人可以拿到自己的作业本，也可以不拿到自己的作业本.所以，共有P33种情况.恰有一人拿到自己的作业本.这时，一人拿到了自己的作业本，而其他三人都没能拿到自己的作业本.拿到自己作业本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人，共4种情况.另外三人全拿错了作业本的拿法有2种.故恰有一人拿到自己作业本的情况有42种情况.至少有一人没有拿到自己的作业本.这时只要在所有拿法中减去四人全拿到自己作业本的拿法即可.由于4人拿作业本的所有拿法是P44，而4人全拿到自己作业本只有1种情况.所以，至少有一人没拿到自己作业本的拿法有P441种情况.谁也没拿到自己的作业本.可分步考虑（假设四个人一个一个地拿作业本，考虑四人都拿错的情况即可）.第一个拿作业本的人除自己的作业本外有3种拿法.被他拿走作业本的人也有3种拿法.这时，剩下的两人只能从剩下的两本中拿，要每人都拿错，只有一种拿法.所以，由乘法原理，共有331种不同的情况.解： 甲拿到自己作业本的拿法有P33321 6种情况；恰有一人拿到自己作业本的拿法有428种情况；至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有P4414321123种情况；谁也没有拿到自己作业本的拿法有3319种情况.由前面的各例题可以看到，有关排列组合的问题多种多样，思考问题的方法灵活多变，入手的角度也是多方面的.所以，除掌握有关的原理和结论，还必须学习灵活多样的分析问题、解决问题的方法.