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北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 在复平面内，复数的对应点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 函数f（x）是定义在（-，+）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f（x）0在R上恒成立”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+24. 函数y=xcosx的导数为A. y=cosx-xsinx B. y=cosx+xsinxC. y=xcosx-sinx D. y=xcosx+sinx5. 设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为A. （0，+） B. （-，-1），（2，+） C. （2，+） D. （-1，0）6. 若复数z=（x2-4）+（x+3）i（xR），则“z是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 函数f（x）=（）x-log2x的零点个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 39. 若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x310. 函数f（x）=x3-3x，若对于区间-3，2上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|t，则实数t的最小值是A. 20 B. 18 C. 3 D. 011. 设函数f（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf（x）-f（x）0成立的x的取值范围是A. （-，-1）（0，1） B. （-1，0）（1，+）C. （-，-1）（-1，0） D. （0，1）（1，+）12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为A. 4 B. 6 C. 8 D. 32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13. 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i，则z2=_. 14. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f（2018）=_. 15. 已知函数f（x）=ex-x+a有零点，则a的取值范围是_. 16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=_. 17. 对于函数f（x）=（2x-x2）ex（-，）是f（x）的单调递减区间；f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；f（x）没有最大值，也没有最小值；f（x）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_. 18. 若函数exf（x）（e=2.71828，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：f（x）=（x1） f（x）=x2 f（x）=cosx f（x）=2-x中具有M性质的是_. 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. 19. 已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a. （I）求f（x）的单调减区间；（II）若f（x）在区间-2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 20. 设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）. （I）确定a的值；（II）求函数f（x）的单调区间与极值. 21. 已知：函数f（x）=ax4lnx+bx4-c（x0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数. （1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间：（3）若对任意x0，不等式f（x）-2c2恒成立，求c的取值范围. 22. 已知函数f（x）=ex（a+lnx），其中aR. （I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=-垂直，求a的值；（II）当a（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值. 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案DBAACBABAAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13-2i14-201115（-,-116（4,-11）1718三、解答题：本大题共4小题，共60分19. 解：（I）f（x）=-3x2+6x+9. 令f（x）0，解得x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（-,-1），（3，+）. （II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（-2），因为在（-1，3）上f（x）0，所以f（x）在-1，2上单调递增，又由于f（x）在-2，-1上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间-2，2上的最大值和最小值. 于是有22+a=20，解得a=-2. 故f（x）=-x3+3x2+9x-2. 因此f（-1）=1+3-9-2=-7，即函数f（x）在区间-2，2上的最小值为-7. 20. 解：（I）因f（x）=a（x-5）2+6lnx，故f（x）=2a（x-5）+. 令x=l，得f（1）=16a，f（1）=6-8a，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y-16a=6-8a（x-1），由点（0，6）在切线上可得6-16a=8a-6，故a=. （II）由（I）知f（x）=（x-5）2+6lnx（x0），f（x）=x-5+=. 令f（x）=0，解得x1=2，x2=3. 当0x3时，f（x）0，故f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数；当2x3时，f（x）0）. 令f（x）=0，解得x=1. x（0,1）1（1,+）f（x）-0+f（x）极小值f（1）因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+）. （III）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值. 要使f（x）-2c2（x0）恒成立，只需-3-c-2c2. 即2c2-c-30，从而（2c-3）（c+1）0. 解得c或c-1. 所以c的取值范围为（-，-1，+）22. 解：（I）f（x）的导函数为f（x）=ex（a+lnx）+ex（-）=ex（a+-+lnx）. 依题意，有f（1）=e（a+1）=e，解得a=0. （II）由f（x）=ex（a+-+lnx）及ex0知，f（x）与a+-+lnx同号. 令g（x）=a+-+lnx，则g（x）=. 所以对任意x（0,+），有g（x）0，故g（x）在（0，+）单调递增. 因为a（0，ln2），所以g（1）=a+l0，g（）=a+ln0，故存在x0（，1），使得g（x0）=0. f（x）与f（x）在区间（，1）上的情况如下：x（,x0）x0（x0,1）f（x）-0+f（x）极小值所以f（x）在区间（，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增. 所以f（x）存在极小值f（x0）.
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