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第3章数系的扩充与复数的引入1复数的概念(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式zabi(a，bR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数2复数集3复数的四则运算若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若i，则31,120.4共轭复数与复数的模(1)若zabi，则abi，z为实数，z为纯虚数(b0)(2)复数zabi的模|z|，且z|z|2a2b2.5复数的几何形式(1)用点Z(a，b)表示复数zabi(a，bR)，用向量O表示复数zabi(a，bR)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)(2)任何一个复数zabi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.6复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.题型一分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当xyi没有说明x，yR时，也要分情况讨论例1已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当z为实数时，则有当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有a1且a6，即当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则有不存在实数a，使z为纯虚数跟踪演练1当实数a为何值时，za22a(a23a2)i.(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线xy0上解(1)zRa23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，则即故a0.(3)z对应的点在第一象限，则a0，或a2.a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题设(a22a)(a23a2)0，a2.题型二数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等例2已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z.解设zxyi，x，yR，如图OABC，OCBA，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或OABC，x23，y24(舍去)，故z5.跟踪演练2已知复数z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.(2)如图所示，由|z|1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知|zz1|max|z1|r(r为圆半径)21.题型三转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数zxyi(x，yR)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要例3已知z是复数，z2i，均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i为实数，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i为实数，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)跟踪演练3已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.解设xabi(a，bR)，则yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或题型四类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i21.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1i)22i；(3)设i，则31，2，120，2，3n1，3n1(nN*)等；(4)31；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化例4计算：(1)(1i)(1i)；(2)2014.解(1)方法一(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)2014()1007iii0.跟踪演练4计算：.解2(i3)i12i.高考对本章考查的重点1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成abi(a，bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义
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