理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化.ppt

理论力学课堂教学软件 2 NanjingUniversityofTechnology 第一篇静力学 理论力学 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 第一篇静力学 2 3力系等效定理 2 2力偶与力偶系 2 4力系的简化 2 5结论与讨论 2 1力对点之矩与力对轴之矩 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 问题 如何用数学工具描述非共点力系对刚体的作用效应 根据牛顿第二定律有 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 2 1力对点之矩与力对轴之矩 返回 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 力对点之矩 力对轴之矩 合力矩定理 分布荷载专题 2 1力对点之矩与力对轴之矩 力对点之矩 力使物体绕某一点转动效应的度量 1 矢量表示式 r F 2 1力对点之矩与力对轴之矩 F r 矢径 F r F Fxi Fyj Fzk r xi yj zk 2 解析表示式 2 1力对点之矩与力对轴之矩 3 力矩矢量的方向 M r F 按右手定则 F r MO 由于力矩与矩心的位置有关 所以力矩矢量的始端一定在矩心O处 是定位矢量 2 1力对点之矩与力对轴之矩 矢量方向 右手定则 矢量的模 大小 矢量作用在O点 垂直于r和F所在的平面 力对点之矩是一种矢量 注意 由于力对点之矩是矢量 做题目的时候既要求出大小又要求出方向 所以建议用矢量表示来求解问题 2 1力对点之矩与力对轴之矩 4 力对点之矩的几点结论 由定义可知 1 当力的作用线与轴平行或相交 共面 时 力对轴的矩等于零 2 当力沿作用线移动时 它对于轴的矩不变 2 1力对点之矩与力对轴之矩 力对轴之矩 力使物体绕某一轴转动效应的量度 F F 1 概念 2 力对轴之矩符号规定 注意 由于力对轴之矩是标量 代数量 只需用正负号表示即可 力矩正负可按下法确定 从z轴正向看 若力使刚体逆时针转则取正号 反之取负 也可按右手定则确定其正负号 2 1力对点之矩与力对轴之矩 力对轴之矩计算公式 问题 力对轴之矩与力对点之矩有什么关系 2 1力对点之矩与力对轴之矩 力对轴之矩 力对点之矩在各坐标轴上的投影 结论 力对点之矩在过该点的某一轴上投影等于力对该轴之矩 2 1力对点之矩与力对轴之矩 3 力对轴之矩与力对点之矩的关系 力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影 在棱长为b的正方体上作用有一力F 求该力对x y z轴之矩以及对OA轴之矩 解 2 1力对点之矩与力对轴之矩 例题1 则有 若作用在刚体上的力系存在合力 2 1力对点之矩与力对轴之矩 合力矩定理 力对轴之矩 已知 支架受力F作用 l1 l2 l3 尺寸已知 求 MO F 例题2 2 1力对点之矩与力对轴之矩 MO F Fd d 2 1力对点之矩与力对轴之矩 其中 则 原式等于 2 1力对点之矩与力对轴之矩 根据 合力矩定理 试求力F对A点之矩及对x y z轴之矩 解 1 力F对A点之矩 2 1力对点之矩与力对轴之矩 例题3 2 力F对x y z轴之矩 力F对x y z轴之矩为 2 1力对点之矩与力对轴之矩 法1 先求力对O点之矩 法2 根据力对轴定义 分布在较大范围内 不能看作集中力的荷载称分布荷载 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 分布荷载专题 2 1力对点之矩与力对轴之矩 解 合力 已知 三角形分布载荷的q 梁长l 求 合力 合力作用线位置 设合力作用线距离A点距离为d 由合力矩定理 合力对A点之矩与分布力对A点之矩相等 解得 2 1力对点之矩与力对轴之矩 结论 1 合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积 2 合力的方向与线荷载的方向相同 3 合力的作用线通过荷载图的形心 1 均布荷载 2 三角形荷载 3 梯形荷载 可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加 总结 线荷载合力及其合力作用线位置 2 1力对点之矩与力对轴之矩 2 2力偶与力偶系 返回 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 力偶与力偶系 力偶的性质 力偶系的合成 2 2力偶与力偶系 力偶矩矢量 力偶 couple 大小相等 方向相反 且不共线两个平行力所组成的力系 力偶也是一个特殊力系 力偶与力偶系 2 2力偶与力偶系 力偶实例 F1 F2 2 2力偶与力偶系 力偶的作用面与力偶臂 力臂 力偶的两力之间的垂直距离d 2 2力偶与力偶系 力偶作用面 力偶所在的平面 注 力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面 其大小和方向与矩心选取无关 力偶矩是自由矢量 2 2力偶与力偶系 力偶矩矢量 力偶对刚体的转动效应的量度 其方向亦可由右手定则确定 性质1力偶无合力 因此 力偶不能和一个力等效 平衡 但可以和力偶等效 平衡 2 2力偶与力偶系 力偶的性质 力偶的矢量和FR为零 性质2只要保持力偶矩矢量不变 力偶可在作用面内任意移动和转动 其对刚体的作用效果不变 2 2力偶与力偶系 性质3保持力偶矩矢量不变 分别改变力和力偶臂大小 F d 其作用效果不变 2 2力偶与力偶系 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量 只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度 下面符号都表示力偶 M为力偶的矩 2 2力偶与力偶系 力偶系 由两个或两个以上力偶组成的特殊力系 2 2力偶与力偶系 力偶系的合成 任意个在空间分布的力偶 可以合成一个合力偶 合力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和 即 2 2力偶与力偶系 思考题1刚体上A B C D四点组成一个平行四边形 如在其四个顶点作用有四个力 此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形 如图所示 此刚体是否平衡 2 2力偶与力偶系 思考题2从力偶理论知道 一力不能与力偶平衡 图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢 2 2力偶与力偶系 2 3力系等效定理 返回 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 力系的主矢和主矩 力系等效定理 2 3力系等效定理 力系 两个或两个以上的力所组成的系统 F1 F2 Fn 又称力的集合 力系 力系的主矢和主矩 2 3力系等效定理 力系的主矢 主矢 principalvector 一般力系 F1 F2 Fn 中所有力的矢量和 主矢的分量表达式为 2 3力系等效定理 主矢仅与各力的大小和方向有关 主矢不涉及作用点和作用线 因而主矢是滑动矢量 力系主矢的特点 对于给定的力系 主矢唯一 力系的主矩 主矩 力系中所有力对于同一点之矩的矢量和 主矩的分量式为 2 3力系等效定理 力系主矩的特点 力系主矩是定位矢量 其作用点为矩心 力系主矩MO与矩心 O 的位置有关 不确定 怎样判断不同力系的运动效应是否相同 如何判断力系等效 2 3力系等效定理 两个力系对刚体运动效应相等的条件是 主矢相等和对同一点的主矩相等 力系等效定理 2 4力系的简化 返回 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 力系的简化 就是将由若干力和力偶所组成的一般力系 变为一个力 或一个力偶 或者一个力和一个力偶的简单的 但是等效的情形 2 4力系的简化 1 力向一点平移定理 2 空间一般力系的简化 3 力系简化在固定端约束力分析中的应用 2 4力系的简化 4 空间力系简化的几种最后结果 在O点作用什么力系才能使二者等效 1 力向一点平移定理 2 4力系的简化 力系简化的基础 加减平衡力系 F F 二者等效 力向一点平移定理 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点O 但必须同时附加一个力偶 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的矩 点O 简化中心 注意 力线平移定理的逆步骤 亦可把一个力和一个力偶合成一个力 2 4力系的简化 空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系 如图 2 空间一般力系的简化 2 4力系的简化 1 主矢 平面任意力系中各力的矢量和 定义 2 主矩 平面任意力系中各力对任选简化中心O的力矩代数和 称为该力系对简化中心O的主矩 主矢与简化中心的位置无关 而主矩与简化中心的位置有关 2 4力系的简化 例题4 由F1 F2组成的空间力系 已知 F1 F2 F 试求力系的主矢FR以及力系对O A E三点的主矩 解 1 计算主矢令i j k为x y z方向的单位矢量 则力系中的二力可写成 于是 力系的主矢为 2 4力系的简化 2 计算主矩应用矢量叉乘方法 力系对O A E三点的主矩分别为 2 4力系的简化 例题5 图示空间力系中 力偶作用在Oxy平面内 力偶矩M 24N m 试求此力系向O点简化的结果 解 首先 将已知的力和力偶都表示为矢量的形式 M 0 0 24 N m 2 4力系的简化 F1 F2 F3 同时将O点至各力的矢径也表示为矢量的形式 主矢 M 0 0 24 N m 2 4力系的简化 主矩 2 4力系的简化 3 力系简化在固定端约束力分析中的应用 2 4力系的简化 固定端约束 一个物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束 这时约束物体既限制了被约束物体的移动 又限制了被约束物体的转动 MA FAy FAx FA MA 固定端约束的约束力为作用在接触面上的复杂分布力系 2 4力系的简化 空间约束类型 2 4力系的简化 几种特殊情形 平衡力系 还可以进一步简化 合力偶 合力 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 合力作用线过简化中心 2 4力系的简化 4 空间力系简化的几种最后结果 进一步简化 FR MO FR MO FR既不平行也不垂直于MO 2 4力系的简化 合力的作用线离简化中心O的距离为 FR 0 MO 0 且FR MO 2 4力系的简化 F R 0 MO 0 且F R MO此时无法进一步合成 这就是简化的最后结果 这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋 F R与MO同方向时 称为右手螺旋 F R与MO反向时 称为左手螺旋 图示为一右手螺旋 2 4力系的简化 F R 0 MO 0 同时两者既不平行 又不垂直 此时可将MO分解为两个分力偶M O和M O 它们分别垂直于F R和平行于F R 则M O和F R可用作用于点O 的力FR来代替 最终得一通过点O 的力螺旋 2 4力系的简化 2 5结论与讨论 返回 第2章力矩的概念和力系的等效与简化 2 5结论与讨论 掌握力对点之力矩 力对轴之力矩 力偶等基本概念及其性质 掌握力向一点平移定理及各种力系力系的简化方法和简化结果 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质 能熟练计算各类力系的主矢和主矩 复习要点 力偶性质推论的应用限制 本章中关于力偶性质及其推论 在力系简化以及平衡问题研究中都是非常重要的 但是 这些推论仅适用于刚体 将其应用于变形体时则有一定的限制 2 5结论与讨论 弯曲力偶作用在自由端时 全梁发生弯曲变形 弯曲力偶移至中间时 梁只有左端发生弯曲变形 梁的右端不发生弯曲变形 2 5结论与讨论 扭转力偶作用在自由端时 整个杆件发生扭转变形 扭转力偶移至中间时 只有左端杆发生扭转变形 杆的右端不发生扭转变形 2 5结论与讨论 P46 2 3P47 2 6 第一问 2 7 课外作业 谢谢大家 NanjingUniversityofTechnology 附录 习题解答 作业中存在的问题 2 有抄袭现象 1 作业要规范 抄题抄图 2 3 附录 习题解答 2 3图示正方体的边长a 0 5m 其上作用的力F 100N 试求力F对O点之矩及对z轴的矩 解 力F对z轴之矩为 2 6图示平面任意力系中F1 40N F2 80N F3 40N F4 110N M 2000N mm 各力作用位置如图所示 图中尺寸的单位为mm 求 1 力系向O点简化的结果 2 力系的合力的大小 方向及合力作用线方程 2 6 附录 习题解答 解 2 6图示平面任意力系中F1 40N F2 80N F3 40N F4 110N M 2000N mm 各力作用位置如图所示 图中尺寸的单位为mm 求 1 力系向O点简化的结果 2 力系的合力的大小 方向及合力作用线方程 2 6 附录 习题解答 解 向O点简化结果如图 b 合力如图 c 其大小与方向为 2 6 附录 习题解答 设合力作用线上一点坐标为 x y 则 得合力作用线方程为 2 10 附录 习题解答 2 10图示等边三角形板ABC 边长a 今沿其边缘作用大小均为F的力 方向如图a所示 试求三力的合成结果 若三力的方向改变成如图b所示 其合成结果如何 a 向A点简化 逆 合成结果为一合力偶 b 向A点简化 逆