2018高中数学 初高中衔接读本 专题5.2 三角形的重心、垂心、外心和内心高效演练学案.doc

第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等【高效演练】1如图所示，在ABC中，点P是ABC的内心，则PBCPCAPAB 度2设为的重心，且，则的面积为 【解析】由，有，知两中线，垂直于是【答案】183已知、分别为锐角的垂心和外心，垂足为，则_【解析】可延长交的外接圆于，证明四边形为平行四边形即可【答案】214. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，在OB上任取一点P，连结AP，过D作AP垂线交OA于Q点求证：OPOQ【解析】 在APD中，由AOPD，DQAP可知，点Q是APD的垂心，连结PQ，必有PQADABAD，PQBA，又OAOB，OPOQ5. 如图3，在ABC中，ABAC，过BC的中点D作DEAC于点E，G是DE的中点，求证：AGBE 6.求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.求证 .证明 以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，即.7.（1）设G是ABC的重心，证明：GBC，GAC，GAB的面积相等（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍【分析】（1）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由同底等高得到SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，由此能证明GBC，GAC，GAB的面积相等（2）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由SGBC=SGAC，SGBC=2SGCD，得到SGAC=2SGCD，由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍（2）证明：设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，GBC，GAC，GAB的面积相等，SGBC=SGAC，BD=CD，SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，AGC和DGC在分别以AG和DG为底时，高都是点C到边AD的距离，AG=2GD，同理可证CG=2GF，BG=2GE，三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用8.已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a2+b2+c2+9d2=9R2【分析】以ABC的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C的坐标依次是：（Rcos，Rsin）、（Rcos，Rsin）、（Rcos，Rsin）令AB中点为D、ABC的重心为G（m，n），求出m，n，进而可证明a2+b2+c2+9d2=9R2于是：a2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin）b2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin），c2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin）9d2=9（m0）2+（n0）2=9R（cos+cos+cos）02+R（sin+sin+sin）02=R2（cos+cos+cos）2+（sin+sin+sin）2=R2（3+2coscos+2coscos+2coscos+2sinsin+2sinsin+2sinsin）a2+b2+c2+9d2=9R29.一条直线截三角形，把周长与面积分为对应的两部分：与，与求证：直线过三角形内心的充要条件是【解析】证明： 必要性：如图1，设是的内心，过的直线交于，交于记， ，内切圆半径为，则，由，有充分性：设直线把的周长与面积分为对应的两部分成等比，且与交于，与交，与的平分线交于记，到，的距离为，到的距离为由得注意到，从而有，即，故为的内心，即直线过内心