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第八章 第7节 抛物线基础对点练1(导学号14577769)(2018沈阳市监测)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a)B(a,0)C. D.解析：C将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，所以选C.2(导学号14577770)已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：D因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)，设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.3(导学号14577771)(2016高考全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：B由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选B.4(导学号14577772)(2018汕头市一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32解析：B抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线为x2，K(2,0)设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(2，y0)|AK|AF|，又AFABx0(2)x02，由|BK|2|AK|2|AB|2得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得A(2，4)，AFK的面积为|KF|y0|448.故选B.5(导学号14577773)(2018上饶市一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2,2)过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A. B.C. D2解析：D由抛物线C：y28x得焦点F(2,0)由题意可知：斜率k存在，设直线AB为yk(x2)，代入抛物线方程，得到k2x2(4k28)x4k20，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，x1x24，y1y2，y1y216.又0，(x12，y12)(x22，y22)40，k2.故选D.6(导学号14577774)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是_.解析：把x代入yx，解得y，所以|AB|.因为AOB的面积为，所以，由e2.解得，所以，解得p2，所以该抛物线的标准方程是y24x.答案：y24x7(导学号14577775)(2018南京市、盐城市二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率k，则线段PF的长为_.解析：抛物线方程为y26x，焦点F(1.5,0)，准线方程为x1.5.直线AF的斜率为，直线AF的方程为y(x1.5)，当x1.5时，y3，可得A点坐标为(1.5,3)PAl，A为垂足，P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为(4.5,3)，|PF|PA|4.5(1.5)6.答案：68(导学号14577776)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是_cm.解析：设抛物线方程为y22px(p0)，点(40,30)在抛物线y22px上，9002p40.p.因此，光源到反射镜顶点的距离为cm.答案：9(导学号14577777)已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示(1)求点C的轨迹方程；(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：(1)由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：ykx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，动点C(x，y)，由，可得x22pkxp20，可得x1x2p2.OA：yxx，OB：xx2.由可得yx2，即点C的轨迹方程为y.(2)证明：设直线m的方程为ykxm，由可得x22pkx2pm0可得4p2k28pm，因为直线m与抛物线相切，0，可得pk22m0，可得P(pk，m)，又由，可得Q，(p2m)pm0，可得FPFQ，以线段PQ为直径的圆过点F.10(导学号14577778)(2018南阳、信阳等六市一模)如图，抛物线C：y22px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数，使得k1k2k3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，所以抛物线方程为y24x，准线l的方程为x1.(2)由条件可设直线AB的方程为yk(x1)，k0.由抛物线准线l：x1，可知M(1，2k)，又Q(1,2)，所以k3k1.把直线AB的方程yk(x1)，代入抛物线方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.又Q(1,2)，故k1，k2.因为A，F，B三点共线，所以kAFkBFk，即k，所以k1k22(k1)，即存在常数2，使得k1k22k3成立能力提升练11(导学号14577779)(2018上海市模拟)已知动点P(x，y)满足5|3x4y1|，则点P的轨迹是()A直线 B抛物线C双曲线 D椭圆解析：B动点P(x，y)满足5|3x4y1|，可得，表示动点P(x，y)到(1,2)与到直线3x4y10距离相等，又(1,2)不在直线3x4y10上，则点P的轨迹是以(1,2)为焦点以直线3x4y10为准线的抛物线故选B.12(导学号14577780)(2018白山市一模)已知抛物线y26x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|2，则直线AF的倾斜角为()A. B.C. D.解析：D如图，设P(x0，y0)，因为|PF|2x01.5，所以x00.5.所以|BF|1.50.51，所以BPF，从而PFB，因为|PA|PF|2，所以PAFPFA.又PAFAFB，所以AFBPFB，所以AF的倾斜角为.故选D.13(导学号14577781)(2018长沙市模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.解析：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点(c,0)与抛物线C：y28x的焦点(2,0)重合，可得c2，a4，b212，椭圆的标准方程为1.抛物线的准线方程为x2，联立，解得y3，A(2,3)，B(2，3)，则|AB|3(3)6.答案：614(导学号14577782)(2018遂宁市二诊)已知点F(0,1)为抛物线x22py的焦点(1)求抛物线C的方程；(2)点A、B、C是抛物线上三点且0，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知1，即p2，抛物线C的方程为：x24y；(2)令A，B，C，不妨设直线AB与y轴交于点D(0，yD)，即yD.又且0，0，1.从而x1x2x3，xx12x2x1x2(x1x2)2(xx)2x12，即x1x2x6.SABC3SABF3|1yD|x2x1|，S2(xx2x1x2)(4x6)2(12x2x12)(x2)2(243x)(x2)2(8x)令tx0，y(t2)2(8t)，y2(t2)(8t)(t2)2，令y0，则t12，t26.当t(0,2)时函数单调递减，当t(2,6)时函数单调递增，t(6，)时函数单调递减且当t0时y，当t6时y，ymax.SABCmax.
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