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两条直线的交点一、考点突破知识点课标要求题型说明两条直线的交点1. 了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系。2. 会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标。3. 会利用直线系方程解决相关问题。填空题解答题体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程（由数到形），了解用解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想。二、重难点提示重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用。难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题。考点一：两条直线的交点直线：直线：方程组的解与两直线交点的个数之间的关系方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行考点二：经过两条直线的交点的直线系过直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20交点的直线系（A1xB1yC1）（A2xB2yC2）0（其中、为参数，），当时，方程即为l1的方程；当时，方程即为l2的方程。上面的直线系可改写成A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（其中为参数）。但是方程不包括直线l2的方程，虽然这个参数方程形式在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l2是否符合题意，否则会出现漏解情况。【规律总结】1. 对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则（1）l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10（或B1C2B2C10）；（2）l1l2A1A2B1B20.利用上述两组关系解决直线的平行及垂直问题，可以有效避免因字母范围引起的直线斜率问题的讨论.2.（1）三条直线共点的判断方法为：先求出两条直线的交点，再判断这个交点是否在第三条直线上。（2）当若干直线交于一点时，只须由其中两条求其交点，其他直线均过这一点，即这一点满足其他直线方程。【随堂练习】直线l经过原点，且经过另外两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为 。 思路分析：三条直线共点问题，可用解方程组求交点或直线系解决。答案：方法一解方程组，得 所以两条直线2x3y80，xy10的交点坐标为（1，2），又直线l经过原点（0,0），设经过原点的直线方程为ykx，将（1，2）代入方程，得k2，所求直线l的方程为y2x，即2xy0.方法二设经过两条直线2x3y80，xy10交点的直线方程为（2x3y8）（xy1）0，又直线l经过原点，把（0,0）代入l的方程，得8，将8代入l的方程并整理，得2xy0.技巧点拨：此题用直线系解决比较简单，注意掌握这种方法。例题1 （利用方程组判断两条直线的位置关系）判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标。（1）l1：2xy30，l2：x2y10；（2）l1：xy20，l2：2x2y30；（3）l1：2x3y50，l2：4x6y100.思路分析：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断。答案：（1）解方程组得直线l1与l2相交，交点坐标为（1，1）。（2）解方程组2得：10，矛盾，方程组无解。两直线无公共点，l1l2.（3）解方程组2得4x6y100，和可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合。技巧点拨：判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情况。若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合。例题2 （直线经过定点问题）已知（k1）x（k1）y2k0为直线l的方程。求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐标。思路分析：令k0,1两特殊直线方程构成方程组交点坐标验证。答案：证明：方法一对于方程（k1）x（k1）y2k0，令k0得xy0；令k1得2x20。解方程组得两直线的交点为（1，1）。将交点（1，1）代入已知直线方程的左边，得（k1）（k1）（1）2k0。这表明不论k取何实数，直线l必过定点（1，1）。方法二整理直线l的方程，得（xy）k（xy2）0，不论k取何实数，直线l的方程为直线系l1l20的形式，因此必过定点。定点坐标可由方程组解得直线l经过的定点是M（1，1）。方法三由直线l的方程得（k1）x（k1）y2k，变形为（k1）x（k1）（k1）y（k1），即（k1）（x1）（1k）（y1）0.直线l的方程为过定点（x0，y0）的直线系方程A（xx0）B（yy0）0的形式，所以直线l必过定点。定点坐标可由方程组解得不论k取何实数，直线l必过定点（1，1）。技巧点拨：解答此类问题常有两种方式。1. 特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同直线，联立其中两条直线的方程便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定点。2. 恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，根据恒等式的性质，由k的一次项系数和常数项均为零，就可以求得该定点坐标。解析法在几何证明中的应用【满分训练】如图，以RtABC的两条直角边AB、BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连接EC、AF，两直线交于点M.求证：BMAC.思路分析：建立适当的直角坐标系，设点的坐标加以证明。答案：证明：以两条直角边AB、BC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系。设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a和b，则A（0，a），C（b,0），B（0,0），E（a，a），F（b，b）。直线AF的方程是，即（ab）xbyab0。直线EC的方程是，即ax（ab）yab0。解方程组得即M点的坐标为（，）故kBM，又kAC，所以kBMkAC1。因此BMAC。技巧点拨：本题是用代数的方法证明几何问题，这就是解析法。具体来说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题。
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