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第三讲 柯西不等式与排序不等式考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题真题体验 1(2017江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明：由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.2(2015陕西高考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，得baxba，则解得(2) 24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1，2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解例1已知a，b为正实数，ab1，x1，x2为正实数(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解(1)a，b为正实数，ab1，x1，x2为正实数，3336，当且仅当，ab，即ab，且x1x21时，有最小值6.(2)证明：a，bR，ab1，x1，x2为正实数，(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时取等号.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷例2在ABC中，试证：.证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.以上三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，当且仅当5a3b即a，b时取等号a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值为1.例4已知abc1.(1)求S2a23b2c2的最小值及取得最小值时a，b，c的值；(2)若2a23b2c21，求c的取值范围解(1)根据柯西不等式，得1abcab1c(2a23b2c2) ，即 1，S，当且仅当a，b，c时等号成立，当a，b，c时，Smin.(2)由条件可得根据柯西不等式，得(ab)2(a)2(b)2(2a23b2)，(1c)2(1c2)，解得c1.c的取值范围为. (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a，bR且ab16，则的最小值是()A.B.C. D.解析：选A(ab)24，.当且仅当，即ab8时取等号2已知x3y5z6，则x2y2z2的最小值为()A. B.C. D6解析：选C由柯西不等式，得x2y2z2(123252)(x2y2z2)(x3y5z)262，当且仅当x时等号成立3已知a，b，c为正数且abc3，则的最小值为()A4 B4C6 D6解析：选Ca，b，c为正数 ab.同理 bc， ca，相加得 ()2(bca)6，即6，当且仅当abc时取等号4设a，b，c均大于0，a2b2c23，则abbcca的最大值为()A0 B1C3 D.解析：选C设abc0，由排序不等式得a2b2c2abbcac，所以abbcca3，故选C.5已知a，b，c为正数，则(abc)的最小值为()A1 B.C3 D4解析：选D(abc)()2()22224.当且仅当abc时取等号6已知(x1)2(y2)24，则3x4y的最大值为()A21 B11C18 D28解析：选A根据柯西不等式得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，当且仅当时取等号7设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是()A. B.C2 D.解析：选B1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，当且仅当ab4c时等式成立，故2的最大值为.8函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：选A因为f(x)cos x，所以f(x) cos x ，当且仅当cos x时取等号9若5x16x27x34x41，则3x2x5xx的最小值是()A. B.C3 D.解析：选B3x2x5(x3)2x(5x16x27x34x4)21，即3x2x5xx.10已知a，b，cR，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：选B设abc0，所以a3b3c3，根据排序不等式，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填写在题中横线上)11设a，b，c是正实数，且abc9，则的最小值为_解析：(abc)()2()2()2218，2，当且仅当abc3时等号成立的最小值为2.答案：212已知A，B，C是三角形三个内角的弧度数，则的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，当且仅当ABC时，等号成立答案：13设有两组实数：a1，a2，a3，an与b1，b2，b3，bn，且它们满足：a1a2a3an，b1b2b3bn，若c1，c2，c3，cn是b1，b2，b3，bn的任意一个排列，则a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，反序和与顺序和相等的条件是_解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等答案：a1a2an或b1b2bn14设a，b，c为正数，且a2b3c13，求的最大值为_解析：(a2b3c)2()2，()2.当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c时，有最大值.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求实数a的取值范围解：由柯西不等式，得：(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26b2(bcd)2.由条件可得5a2(3a)2，解得1a2.所以实数a的取值范围为1,216(本小题满分12分)求函数y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，则y22(14)，即y，当且仅当4(1sin x)sin x，即sin x时等号成立，所以函数y的最大值为.17(本小题满分12分)设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立18(本小题满分14分)已知函数f(x)|x2|3.(1)若f(x)0，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g(x)34的最大值解：(1)因为f(x)0|x2|33x231x5，所以x的取值范围是(1,5)(2)由(1)知g(x)34.由柯西不等式得(3242)()2()2(34)2，所以g(x)5，当且仅当，即x时，g(x)取得最大值5.
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