2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学案 北师大版必修4.doc

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考1角的正弦、余弦分别等于什么？答案sin ，cos .思考2对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.思考3若取|OP|1时，sin ，cos 的值怎样表示？答案sin y，cos x.梳理(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin ；点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos .(2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义.梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin v，cos u.当为第一象限角时，v0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.梳理正弦、余弦函数在各象限的符号 象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数思考由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案2，4，6，2，等都是函数的周期.梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期，简称为周期.1.函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6为周期的周期函数.()提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以6为周期的周期函数.2.任何周期函数都有最小正周期.()提示对于常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.类型一正弦函数、余弦函数定义的应用例1已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos x，求sin 的值.考点正弦、余弦函数定义的应用题点已知角终边上一点坐标求三角函数值解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1，3)，此时sin .当x1时，P(1，3)，此时sin .综上，sin 的值为.反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求2sin cos 的值.考点三角函数定义的应用题点已知角终边上一点坐标求三角函数值解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos .若a0，则为第三象限角，r2a，所以sin ，cos .类型二正弦、余弦函数值符号的判断例3(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限考点正弦、余弦函数值符号的判断题点正弦、余弦函数值符号的应用答案D解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.(2)判断下列各式的符号.sin 145cos(210)；sin 3cos 4.考点正弦、余弦函数值符号的判断题点正弦、余弦函数值符号的判断解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.3，4，sin 30，cos 40，sin 3cos 40.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键.跟踪训练3若三角形的两内角A，B满足sin Acos B0，则此三角形必为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能考点正弦、余弦函数值符号的判断题点正弦、余弦函数值符号的应用答案B解析由题意知，A，B(0，)，sin A0，cos B0，B为钝角.故选B.类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数.考点函数的周期性题点证明函数是周期函数证明(1)f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2)f(x4)f(x2)2f(x)，由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(xT)f(x).(2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa)，那么f(x)的周期也为2a(a0).跟踪训练4若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.2.3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时，f(x)2x1，则f的值为()A.2 B.0C.1 D.3考点函数的周期性题点周期函数的应用答案B解析f(x)是以1为一个周期的函数，kZ且k0，也是f(x)的周期.f(xk)f(x)，故ff，从而ff.又当x(1，0)时，f(x)2x1，ff210.4.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.考点正弦、余弦函数值符号的判断题点正弦、余弦函数值符号的应用答案三解析2 0165360216，2 016是第三象限角，sin 2 0160，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .若x0，所以是第一或第二象限角.10.若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn .考点三角函数定义的应用题点已知角终边所在直线求参数值答案2解析y3x且sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图像上，且m0，n0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，sin xcos x0，y2；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2.故函数y的值域为4，0，2.15.已知，且lg(cos )有意义.(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin 的值.考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解(1)，sin 0.lg(cos )有意义，cos 0.由得角的终边在第四象限.(2)点M在单位圆上，2m21，解得m.又是第四象限角，m0，m.由三角函数定义知，sin .