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习题课-直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A组1.直线y=x+b交抛物线y=x2于A,B两点,O为抛物线顶点,OAOB,则b的值为()A.-1B.0C.1D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+b代入y=x2,化简可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OAOB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经检验b=0时,不满足OAOB,故b=2.答案:D2.(2016全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由OBGFBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,故选A.答案:A3.已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,圆心为(3,0),半径为1.双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.双曲线的渐近线与圆C相切,=1.又双曲线的右焦点为圆C的圆心,c=3.结合c2=a2+b2解得b=1,a=2.双曲线的方程为-y2=1.故选C.答案:C4.已知双曲线=1(a0,b0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)(,+)C.(,+)D.,+)解析:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|2,即2,则有4,所以e2=5,所以e.故选C.答案:C5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是.解析:设弦两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-.所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=06.过原点的直线l与双曲线C:=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线C的方程为.解析:,FAFB,AFB为直角三角形.过原点的直线l与双曲线C:=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,|AB|=2.设|FB|=x,则|FA|=4-x,x2+(4-x)2=12,x2-4x+2=0,x=2,|FB|=2+,|FA|=2-,2a=|FB|-|FA|=2,a=,b=1,双曲线C的方程为-y2=1.答案:-y2=17.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点A的坐标为.解析:设A,则,F(1,0),.=-=-4.整理得,+12-64=0,=4,即y0=2.点A坐标为(1,2).答案:(1,2)8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程.解设椭圆的方程为=1(ab0),且a2-b2=(5)2=50,由消去y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.设弦两端点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=.,即a2=3b2,此时0.由得a2=75,b2=25,椭圆的方程为=1.9.抛物线y2=x上存在P,Q两点关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.解设P(x1,y1),Q(x2,y2),-,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,y1+y2=-k.-1=k=(y1+y2)2-2y1y2-2.-k-2=kk2-2y1(-k-y1)-2,2k+2k2y1+k3-k+2=0,=4k4-8k(k3-k+2)0,k(-k3+2k-4)0,k(k3-2k+4)0,k(k+2)(k2-2k+2)0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|MN|=22.当t0),O为抛物线的顶点,OAOB,点A在x轴上方,则ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2解析:由抛物线的对称性及OAOB知直线OA的方程为y=x,由得A(2p,2p),则B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以SABO=4p2p=4p2.故选B.答案:B2.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m等于()A.B.2C.D.3解析:依题意知kAB=-1,而y2-y1=2(),x2+x1=-,且在直线y=x+m上,即+m,y2+y1=x2+x1+2m,2()=x2+x1+2m,2(x2+x1)2-2x2x1=x2+x1+2m,2m=3,m=.答案:A3.已知两直线x=1分别过椭圆=1的两个焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是.解析:由题意知椭圆的焦点坐标为(,0),两直线x=1分别经过椭圆的两个焦点,4-b2=1,b2=3.椭圆方程为=1.直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后,所得一元二次方程的判别式0,即方程(4k2+3)x2+16kx+4=0的判别式162k2-16(4k2+3)0,即k2,-k.答案:-k4.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为.解析:易知a=2,b=1,c=,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则=(-x,-y)(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-3=(3x2-8),因为x-2,2,故当x=0,即点P为椭圆的短轴端点时,有最小值-2.当x=2,即点P为椭圆的长轴端点时,有最大值1.答案:1,-25.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当APF周长最小时,该三角形的面积为.解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.A(0,6),F1(-3,0),直线AF1的方程为=1,即x=-3.将其代入x2-=1得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),因此点P的纵坐标为2.SAPF=|F1F|yA-|F1F|yP=6662=12.答案:126.已知椭圆+y2=1,求斜率为2的弦的中点轨迹方程.解设直线与椭圆相交所得弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x,y),则两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.因此=-=-=2,所以x+4y=0,由题意知点M(x,y)落在椭圆内部,则有+y21,即1,解得-x0).(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,),B(x0,-),=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,代入双曲线方程=1中,得(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0,依题意可知方程有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则得|k|1,=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2+2.综上可知的最小值为2.8.导学号90074087已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y2=2px(p0)上的两个动点,O是坐标原点,向量满足|=|.设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)求证线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.(1)证明因为|=|,所以()2=()2,即+2-2,整理,得=0,所以x1x2+y1y2=0.设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则=0,即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.展开上式并将式代入,得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.从而可知线段AB是圆C的直径.(2)解设圆C的圆心坐标为(x,y),则因为=2px(p0),=2px2(p0),所以x1x2=.由(1)知x1x2+y1y2=0,所以x1x2=-y1y2,所以-y1y2=.因为x1x20,所以y1y20,所以y1y2=-4p2.所以x=)=+2y1y2)-(y2+2p2),所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2.设圆心C(x,y)到直线x-2y=0的距离为d,则d=.当y=p时,d有最小值,由题设得,所以p=2.
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