2018-2019高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例导学案 新人教A版选修4-5.doc

4.2 用数学归纳法证明不等式举例学习目标1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路2会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n为大于1的自然数)3了解n为实数时贝努利不等式也成立.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究在应用贝努利不等式时应注意什么？名师点拨：1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解当指数n推广到任意实数时，x1时，若01，则(1x)1x.若1，则(1x)1x.当且仅当x0时等号成立2贝努利不等式的应用贝努利不等式：如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx.推论：当x是实数，且x1，x0，n为不小于2的正整数时，有n1.3数学归纳法与其他方法的联系数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证nk1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等4用数学归纳法证明不等式时常用技巧用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n0的定位，要弄清楚nk和nk1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯nk1时的目标，对nk1时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是nk1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”常用放缩法做辅助手段【例1】求证：(n2，nN)【变式训练1】用数学归纳法证明：10，且a1)，记Sn为数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论【变式训练3】在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1，且x0.【例1】【分析】本题由nk到nk1时的推证过程中，nk时，首项是，尾项是，分母是从k1开始的连续正整数，因而当nk1时，首项应为，尾项是，与nk时比较，后面增加，共三项，而不只是增加一项，且还减少了一项.【证明】(1)当n2时，左边，不等式成立 (2)假设nk(k2，nN)时，不等式成立，即，则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)，知原不等式对一切n2的自然数都成立【变式训练1】证明(1)当n2时，12，不等式成立(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即12，则nk1时，1222，不等式也成立(2)假设nk(k2)时，不等式成立，即(12k)k2.则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，11，(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，当n1时，原不等式成立【变式训练2】证明(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边当n2时，左边，右边，左边右边，当n1或n2时，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，不等式成立，即1.当nk1时，左边1.0，右边，由不等式的传递性知，左边右边当nk1时，不等式也成立由(1)(2)，可得对一切nN不等式都成立【例3】【解】(1)设数列bn的公差为d，由题意得bn3n2.(2)由bn3n2知Snloga(11)loga(1)logaloga，而logabn1loga.于是，比较Sn与logabn1的大小即比较(11)与的大小取n1，有(11).取n2，有(11).由此猜想：(11).(*)下面用数学归纳法证明：当n1时，已验证(*)成立假设nk(k1)时，(*)成立，即(11)，则当nk1时，(11).330，(3k2).从而(11)，即当nk1时(*)也成立由与知，(*)对任意正整数n都成立所以，当a1时，Snlogabn1，当0a1时，Snlogabn1.【变式训练3】分析本题主要考查数列的概念和性质，数学归纳法及用放缩法证明不等式的数学方法，考查归纳、推理及运算能力解(1)由条件得2bnanan1，abnbn1，又a12，b14，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可知，结论成立假设nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以，当nk1时，结论也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)2(n1)n.故.综上，原不等式成立