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第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则13a,13b,13c一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是13b2=132b=13a+c=13a13c,所以13a,13b,13c一定是等比数列.答案B2.在等比数列an中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列an中,an0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2=a3+a4a1+a2=9.因为an0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,a32=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.32n-1C.23n-1D.12n-1解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32.又S1=a1=1,所以Sn=32n-1,故选B.答案B6.已知等比数列an,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=.解析设公比为q.a10a3=q7=3843=27,q=2.an=a3qn-3=32n-3.答案32n-37.在数列an中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.解析由2an+1-an=0,得an+1an=12,所以数列an是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=312n-1.答案312n-18.在等比数列an中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=25=4,而a4与a8的等比中项是a6,故a4与a8的等比中项是4.答案49.导学号04994040已知数列an是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2 bn=an.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.(1)证明由log2 bn=an,得bn=2an.因为数列an是等差数列,不妨设公差为d,则bnbn-1=2an2an-1=2an-an-1=2d,2d是与n无关的常数,所以数列bn是等比数列.(2)解由已知,得a1+d=3,a1+3d+3(a1+4d)=56,解得a1=-1,d=4,于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列bn的通项公式bn=16n-1.10.已知数列an满足a1=78,且an+1=an+ (nN*).(1)求证:an-23是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明an+1=an+,an+1-23=12an+13-23=12an-23.an+1-23an-23=12.an-23是首项为524,公比为的等比数列.(2)解an-23=52412n-1,an=52412n-1+23.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得2b=a+c,b2=(a+1)c,b2=a(c+2),解得a=8,b=12,c=16.答案D2.在等比数列an中,a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析am=a1a2a3a4a5=qq2q3q4=q10=1q10,m=11.答案C3.已知等比数列an,各项都是正数,且a1, a3,2a2成等差数列,则a9+a10a7+a8=()A.3+22B.1-2C.1+2D.3-22解析由a1, a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列an中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+2或1-2(舍去),所以a9+a10a7+a8=q2=(1+2)2=3+22.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1b2=.解析由题意,得a2-a1=-1-(-7)3=2,b22=(-4)(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以a2-a1b2=2-2=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an0,所以q2+q-1=0,解得q=-1+52(q=-1-52舍去).答案-1+526.若数列a1,a2a1,a3a2,anan-1,是首项为1,公比为-2的等比数列,则a5=.解析由题意,得anan-1=(-2)n-1(n2),所以a2a1=-2,a3a2=(-2)2,a4a3=(-2)3,a5a4=(-2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a1=(-2)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列an满足Sn=4an-1(nN*),求证:数列an是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n2时,Sn-1=4an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),即3an=4an-1,所以anan-1=43,故数列an是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列an的通项公式是an=1343n-1.8.导学号04994041已知数列an的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:an是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列bn是等比数列.证明(1)Sn=2an+1,Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,an+1=2an.由已知及上式可知an0.由an+1an=2知an是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,bn=an+1+2an=-2n-22n-1=-22n=-2n+1=-42n-1.数列bn是等比数列.
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