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2-3-2 离散型随机变量的方差1牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为，则D()等于()A0.2 B0.8 C0.196 D0.804解析B(10,0.02)，D()100.02(10.02)0.196.答案C2投掷一枚骰子的点数为，则()AE()3.5，D()3.52 BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5 DE()3.5，D()解析P(k)，k1,2,3,4,5,6，E()(1236)3.5，E(2)(122262)，D()E(2)(E()2.答案B3已知随机变量X服从二项分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则p_.解析由得p.答案4随机变量的取值为0,1,2.P(0)，E()1，则D()_.解析由题意设P(1)p，则的分布列为012Ppp由E()1，可得p，所以D()120212.答案课内拓展课外探究1常用分布的方差(1)两点分布：若X服从两点分布，则D(X)p(1p)注意：上述公式证明如下：由于X服从两点分布，即P(X0)1p，P(X1)p，E(X)p，E(X2)02(1p)12pp，D(X)E(X2)(E(X)2pp2p(1p)(2)二项分布：若XB(n，p)，则D(X)np(1p)注意：上述结论证明如下：XB(n，p)，令q1p，则P(Xi)Cpiqni，E(X2)2Cpiqni(i1)CpiqniCpiqni(i1)CpiqniE(X)n(n1)p2pi2q(n2)(i2)E(X)n(n1)p2pjq(n2)jE(X)n(n1)p2(pq)n2E(X)n(n1)p2E(X)n(n1)p2np，D(X)E(X2)(E(X)2n(n1)p2np(np)2npnp2npq.故D(X)np(1p)(3)超几何分布：若随机变量X服从超几何分布，即XH(N，M，n)，则D(X). 某人投篮命中的概率为p0.4.(1)求投篮一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投篮时命中次数Y的均值和方差解(1)X的分布列为X01P0.60.4E(X)00.610.40.4.D(X)(00.4)20.6(10.4)20.40.24.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即YB(10,0.4)，E(Y)np100.44，D(Y)100.40.62.4.点评由随机变量的方差的计算公式可知，欲求随机变量的方差应先求该随机变量的数学期望若该随机变量服从一些特殊的分布(如两点分布、二项分布、超几何分布)，可以直接利用已知的公式进行计算2方差的求法(1)定义法求离散型随机变量的方差的步骤：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出分布列；利用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出随机变量的期望E(X)；代入公式D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn求出方差D(X)；代入公式(X)求出随机变量的标准差.(2)利用公式D(X)E(X2)(E(X)2求方差公式D(X)E(X2)(E(X)2的证明如下：D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn(xp1xp2xpn)2E(X)(x1p1x2p2xnpn)(E(X)2(p1p2pn)E(X2)2(E(X)2(E(X)2E(X2)(E(X)2.利用公式D(X)E(X2)(E(X)2可以简化求方差的过程 盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的个数的期望和方差解取出白球个数的可能取值为0,1,2.0表示取出的两个球都是黑球，P(0)；1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P(1)；2表示取出的两个球都是白球，P(2)，于是：E()0121.2，D()(01.2)2(11.2)2(21.2)20.36，或E(2)0212221.8，D()E()2(E()21.81.220.36.点评求离散型随机变量的数学期望和方差，往往先求概率分布，再根据定义求解，在方差的计算过程中，利用D()E()2(E()2计算方差要简便一些 设随机变量X的分布列为12nP求D(X)解解法一：E(X)12n(12n)，于是，有D(X)222.解法二：由解法一可求得E(X).又E(X2)1222n2(1222n2).D(X)E(X2)(E(X)2.点评本例的解法二比解法一简捷得多，这是因为公式D(X)E(X2)(E(X)2是由公式D(X)(xiE(X)2pi展开并化简后得到的结论，因此利用公式D(X)E(X2)(E(X)2来计算D(X)就避免了用公式D(X)(xiE(X)2pi的复杂的展开、化简过程当随机变量X为n(不是具体的数值)个时，在计算E(X)及D(X)时，应把“n”当作常量来计算
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