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第1课时任意角的三角函数的定义学习目标:1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3.掌握公式并会应用自 主 预 习探 新 知1单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆2任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:图121(2)结论y叫做的正弦,记作sin_,即sin y;x叫做的余弦,记作cos_,即cos x;叫做的正切,记作tan_,即tan (x0)(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 4正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示:图122(2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”5诱导公式一基础自测1思考辨析(1)sin 表示sin与的乘积()(2)设角终边上的点P(x,y),r|OP|0,则sin ,且y越大,sin 的值越大()(3)终边相同的角的同一三角函数值相等()(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()解析(1)错误sin 表示角的正弦值,是一个“整体”(2)错误由任意角的正弦函数的定义知,sin .但y变化时,sin 是定值(3)正确(4)错误终边落在y轴上的角的正切函数值不存在答案(1)(2)(3)(4)2已知sin 0,cos 0,则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角B由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知,角是第二象限角3sin_.sinsinsin.4角终边与单位圆相交于点M,则cos sin 的值为_cos x,sin y,故cos sin .合 作 探 究攻 重 难三角函数的定义及应用探究问题1一般地,设角终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin ,cos ,tan 为何值?提示:sin ,cos ,tan .2sin ,cos ,tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?提示:sin ,cos ,tan 的值只与的终边位置有关,不随P点在终边上的位置的改变而改变(1)已知角的终边上有一点P(x,3)(x0),且cos x,则sin tan 的值为_(2)已知角的终边落在直线xy0上,求sin ,cos ,tan 的值思路探究(1)(2)(1)或(1)因为r,cos ,所以x.又x0,所以x1,所以r.又y30,所以是第一或第二象限角当为第一象限角时,sin ,tan 3,则sin tan .当为第二象限角时,sin ,tan 3,则sin tan .(2)直线xy0,即yx,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点(1,),则r2,所以sin ,cos ,tan ;在第四象限取直线上的点(1,),则r2,所以sin ,cos ,tan .母题探究:1.将本例(2)的条件“xy0”改为“y2x”其他条件不变,结果又如何?解当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点P(1,2),由r|OP|,得sin ,cos ,tan 2.当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(1,2),由r|OQ|,得:sin ,cos ,tan 2.2将本例(2)的条件“落在直线xy0上”改为“过点P(3a,4a) (a0)”,求2sin cos .解因为r5|a|,若a0,则r5a,角在第二象限,sin ,cos ,所以2sin cos 1.若a0)则sin ,cos .已知的终边求的三角函数时,用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.三角函数值符号的运用(1)已知点P(tan ,cos )在第四象限,则角终边在() 【导学号:84352022】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)判断下列各式的符号:sin 145cos(210);sin 3cos 4tan 5.思路探究(1)先判断tan ,cos 的符号,再判断角终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角,再确定各三角函数值的符号,最后判断乘积的符号(1)C(1)因为点P在第四象限,所以有由此可判断角终边在第三象限(2)145是第二象限角,sin 1450,210360150,210是第二象限角,cos(210)0,sin 145cos(210)0.3,4,52,sin 30,cos 40,tan 50,sin 3cos 4tan 50.规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略:(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.跟踪训练1已知角的终边过点(3a9,a2)且cos 0,sin 0,则实数a的取值范围是_2a3因为cos 0,sin 0,所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上,因为终边过(3a9,a2),所以所以2a3.2设角是第三象限角,且sin,则角是第_象限角四角是第三象限角,则角是第二、四象限角,sin,角是第四象限角诱导公式一的应用求值:(1)tan 405sin 450cos 750;(2)sincostancos.解(1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.(2)原式sincostancossincostancos1.规律方法利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形:将已知的任意角写成2k的形式,其中0,2),kZ.(2)转化:根据诱导公式,转化为求角的某个三角函数值(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值跟踪训练3化简下列各式:(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080);(2)sincostan 4. 【导学号:84352023】解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.当 堂 达 标固 双 基1sin(315)的值是()ABC DCsin(315)sin(36045)sin 45.2若sin cos 0,则在()A第一或第四象限 B第一或第三象限C第一或第二象限D第二或第四象限B因为sin cos 0,所以sin 0,cos 0或sin 0,cos 0所以在第三象限或第一象限3已知角终边过点P(1,1),则tan 的值为()A1 B1CDB由三角函数定义知tan 1.4在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sin ,则sin _.设角的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角的终边与单位圆相交于点Q(x,y),由题意知ysin ,所以sin y.5求值:(1)sin 180cos 90tan 0.(2)costan. 【导学号:84352024】解(1)sin 180cos 90tan 00000.(2)costancostancostan1.
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